Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立

设命题p：函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

①若函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R，
则ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则

a＞0 △＝16?4a2＜0

，即

a＞0 a2＞4

，
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式2x²+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
则a＞2x?

2

x

+1，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
∵y＝2x?

2

x

+1在 （-∞，-1]上是增函数，
∴y_max=1，x=-1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
若p真q假，则

a＞2 a＜1

，此时不成立．
若p假q真，则

a≤2 a≥1

，解得1≤a≤2．
即实数a的取值范围是1≤a≤2．

Answer 2

你的问题似乎没问完，是问这两个命题的包含关系，或者是否等价？
我就根据这两个命题给你分析一下吧，然后你根据你的需要再继续往下做。

先看命题p，lg函数的定义域是正实数，因此ax^2-4x+a要在整个定义域恒大于零，故而a必须大于零，且不能与x轴有交点。所以判别式要小于零（这样把这个函数看成方程的时候才没有解），即：16-4a^2<0，即：a>2
因此命题p的等价命题是a>2

再看命题q：即函数f(x)=2x^2+(1-a)x-2 要在-无穷到-1，恒成立，观察函数显然可以看出这个函数有零点，于是左边那个零点必须要不小于-1才行，所以有：
1/4{a-1-根号下[(1-a)^2+16]}>=-1，解出a>=1

也就是说命题q的等价命题是a>=1

Answer 3

函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R
即：ax²-4x+a>0恒成立
当a=0时，不可能满足；∴需要a>0且△=16-4a²<0，解得：0<a<2
不等式2x2+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立
即：2x²+(1-a)x-2>0在(-∞，-1)上恒成立
∵x属于(-∞，-1)
∴x<0，∴a-1>(2x²-2)/x恒成立
只需a-1>(2x²-2)/x在(-∞，-1)的最大值。
设f(x)=(2x²-2)/x=2x-2/x
因为f(x)是(-∞，-1)上的增函数（证明略）
∴在x=-1时，取得最大值f(-1)=0
因此，a-1≥0
解得：a≥1

Answer 4

①若函数的定义域为R，
则恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则 a＞0
△＝16-＜0 ，即 a＞0 ，>4
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式+x＞2+ax，对x∈（-∞，-1）上恒成立，
则a＞2x-+1对x∈（-∞，-1）上恒成立，
∵y＝2x-+1在（-∞，-1]上是增函数，
∴=1，x=-1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
若p真q假，则 a＞2 ,a＜1 此时不成立．
若p假q真，则 a≤2 ,a≥1
解得1≤a≤2．
即实数a的取值范围是1≤a≤2．