Question

解释向量C乘以向量C为什么等于向量C的模的平方

Answer 1

问：解释向量C乘以向量C为什么等于向量C的模的平方

答：这事用勾股定理来扯一下就能明白。勾股定理是啥？就是直角三角形(a,b,c)的两个直边的平方和(a²+b²)等于斜边的平方c²。向量的平方是啥？就是向量点乘自己一次，就是向量a(a₁,a₂)点乘向量a(a₁,a₂)，a·a=a₁²+a₂²。向量的模长是啥？就是|a|=√(a₁+a₂²)。在二维空间中，向量的模长与其分量构成一个直角三角形，妥妥地用勾股定理。这个结论可以推广到n维。如果你对勾股定理不太疑惑，对向量模长的定义又能接受，又知道向量的平方就是向量与自己的点积，你对向量的平方等于其模长的平方就不该有疑惑了。至于两个向量的点积等于两个模长的积再乘以它们夹角的余弦，这事确实有很多不明白的，但这其实也都是勾股定理的推演：勾股定理说的是一个直角三角形的直边与斜边的数量关系。

答：1.推广一：两个相同的直角三角形，它们对应的直角边的乘积和等于它们斜边的乘积。把这事与向量联系到一起，就有：一个向量的平方(一个向量与自身点积)等于它模长的平方。2.推广二：两个相似(不必相同)直角三角形，它们对应直角边的乘积和等于它们斜边的乘积。把这事联系到向量，就有：两个同向向量的点积等于它们模长的乘积。3.推广三：两个直角(不必相似)三角形，它们对应直角边的乘积和等于它们斜边的乘积乘以两个斜边之间的夹角的余弦，就有a₁b₁+a₂b₂=|a||b|cosθ。把这事与向量联系到向量，就有：两个向量的点积等于两个向量的模长乘以它们之间夹角的余弦。在推广二中，因为两个三角形相似，所以两个斜边之间的夹角为零，就cosθ=1了。推二与推三其实一样的。推一跨度最大，把一个直角三角形内部直边与斜边的关系跨接到两个直角三角形之间直边与斜边的关系上了。你学勾股定理时想不到它还能跨到线性代数的点积结果上吧？

答：亲亲老师数学很厉害的呢亲~有什么不会的都可以来问老师呦