Question

求方程dy/dx=(2xy-y²)/x²的通解

Answer 1

问：求方程dy/dx=(2xy-y²)/x²的通解

答：因为这是一个一阶微分方程，但是特解有无数个。这个方程是一个一阶齐次微分方程，其通解，我算得是y=x^2/(x+C)，其中C为任意常数，当C=0时，y=x^2/x，即y=x，这是一个特解。已下为您查询到，y=x是怎么出来计算方法dy/dx=(2y/x)/[1-(y/x)²]因此是齐次方程,令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx∴u+xdu/dx=2u/(1-u²)即xdu/dx=(u³+u)/(1-u²)du(1-u²)/(u³+u)=dx/xlnu-ln(u²+1)=lnx+Cln[xy/(x²+y²)]-lnx=Cln[y/(x²+y²)]=C，