Question

给定数列an的递推公式：an+a(n-1)-3a(n-2)-5a(n-3)-2a(n-4)=0求数列an的通项公式

Answer 1

问：给定数列an的递推公式：an+a(n-1)-3a(n-2)-5a(n-3)-2a(n-4)=0求数列an的通项公式

答：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。 当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）令x=(ax+b)/(cx+d) 即 cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p 其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 【注】形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程 (1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出 (2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出 若无解，就只有再找其他方法了。 并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。 例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项【解】a(n+1)=(2an+8)/an，a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x x=2+8/x x^2-2x-8=0 x1=-2,x2=4 {(an-4)/(an+2)}为等比数列 令(an-4)/(an+2)=bn b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)] =-1/2 b(n+1)=(-1/2)bn b1=-1/2 bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2) an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1 例2：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，【解】特征方程为：y

问：所以这道题的详细思路是什么

答：a(n+1)=(2an+8)/an， a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x x=2+8/x x^2-2x-8=0 x1=-2,x2=4 {(an-4)/(an+2)}为等比数列 令(an-4)/(an+2)=bn b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)] =-1/2 b(n+1)=(-1/2)bn b1=-1/2 bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2) an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1 例2：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An