2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=

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摘要这是一个比较复杂的求和问题。根据给出的式子，我们可以看出这是一系列乘积的和，其中每个乘积都有一定的规律。

我们可以将这个式子分解成多个部分：

$2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=2×(1×3×5)+6×(3×5×7)+18×(5×7×9)+...+78×(81×83×85)$

可以看出，每个乘积都可以分解成一个固定的前缀，和类似于等差数列的后缀，我们可以利用这个性质来简化求和的过程。

首先计算每个乘积的前缀，其中第 $n$ 项前缀为 $2n-1$，那么可以得到：

$(2×1-1)×(1×3×5)=1×3×5$

$(2×2-1)×(3×5×7)=3×5×7$

$(2×3-1)×(5×7×9)=5×7×9$

……

$(2×39-1)×(81×83×85)=81×83×85$

现在只需要计算每个乘积的后缀了。根据上述分析，我们可以得到每个后缀的公式为 $n^3+3n^2+2n$，那么可以得到：

$1^3+3×1^2+2×1=6$

$2^3+3×2^2+2×2=20$

$3^3+3×3^2+2×3=48$

……

$39^3+3×39^2+2×39=202404$

将每个前缀和对应的"后缀"相乘，然后求和即可得到最终结果。

咨询记录 · 回答于2023-12-26

2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=

这是一个比较复杂的求和问题。根据给出的式子，我们可以看出这是一系列乘积的和，其中每个乘积都有一定的规律。我们可以将这个式子分解成多个部分： $2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=2×(1×3×5)+6×(3×5×7)+18×(5×7×9)+...+78×(81×83×85)$ 可以看出，每个乘积都可以分解成一个固定的前缀，和类似于等差数列的后缀，我们可以利用这个性质来简化求和的过程。首先计算每个乘积的前缀，其中第 $n$ 项前缀为 $2n-1$，那么可以得到： $(2×1-1)×(1×3×5)=1×3×5$ $(2×2-1)×(3×5×7)=3×5×7$ $(2×3-1)×(5×7×9)=5×7×9$ …… $(2×39-1)×(81×83×85)=81×83×85$ 现在只需要计算每个乘积的后缀了。根据上述分析，我们可以得到每个后缀的公式为 $n^3+3n^2+2n$，那么可以得到： $1^3+3×1^2+2×1=6$ $2^3+3×2^2+2×2=20$ $3^3+3×3^2+2×3=48$ …… $39^3+3×39^2+2×39=202404$ 将每个前缀和对应的"后缀"相乘，然后求和即可得到最终结果。

将每个前缀和对应的后缀相乘，再将所有乘积相加起来即可得到最终的结果：1×3×5×6+3×5×7×20+5×7×9×48+...+81×83×85×202404=35730331281990因此，原式的值为 35730331281990。

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