Question

13.设A,B,D三点的坐标分别为(1,2,3),+(-1,2,1),+(1,0,1),且+(AB,CD)=2,+求点-

Answer 1

问：13.设A,B,D三点的坐标分别为(1,2,3),+(-1,2,1),+(1,0,1),且+(AB,CD)=2,+求点-

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦根据向量的加法和数量积的定义，可以得到：AB = B - A = (-1, 2, 1) - (1, 2, 3) = (-2, 0, -2)CD = D - C = (1, 0, 1) - (1, 2, 3) = (0, -2, -2)AB·CD = (-2)×0 + 0×(-2) + (-2)×(-2) = 4所以，AB和CD的夹角余弦为：cosθ = AB·CD / |AB|·|CD| = 4 / (2×2×2) = 1/2又因为向量的方向余弦的平方和为1，所以有：cos²θ + cos²φ + cos²γ = 1其中，φ和γ分别为AB和CD所在平面的法向量与x、y、z轴的夹角余弦的平方和。由于AB和CD所在平面的法向量为：n = AB × CD = (-4, 4, -4)所以，φ和γ分别为：cos²φ = (n·i)² / |n|² = (-4/6)² = 4/9cos²γ = (n·j)² / |n|² = (4/6)² = 4/9因此，有：cos²θ + 4/9 + 4/9 = 1cos²θ = 2/9cosθ = ±√(2/9)由于AB和CD的夹角小于180°，所以cosθ应该是正的，即：cosθ = √(2/9)又因为：cosθ = (M - A)·AB / |M - A|·|AB|所以，有：(M - A)·AB = |M - A|·|AB|·cosθ将AB的数值代入，展开得：(-2Mx + 2My - 2Mz + 2) = √14·|M - A|将M的坐标表示为(x, y, z)，再代入，得到方程：4x² - 16y² + 4z² + 4x + 16y - 12z - 31 = 0这是一个二次曲面，是一个双曲抛物面。根据对称性，点D的坐标可以通过将点B关于平面AC的对称点求出，即：D = B - 2·proj_n(B - A)其中，proj_n(B - A)表示向量(B - A)在n上的投影，即：proj_n(B - A) = ((B - A)·n / |n|²)·n = (-4/6, 4/6, -4/6)代入得：D = (-1, 2, 1) - 2·(-4/6, 4/6, -4/6) = (1/3, 4/3, 5/3)

问：c点

问：坐标

答：C点的坐标为(1, 2, 3)。

问：直接写吗

答：亲你是要求整道题的C点坐标？

问：嗯嗯

问：后面没有写

问：我这道题就是求c点坐标

答：根据向量的加减法，可得向量AB为：AB = B - A = (-1,2,1) - (1,2,3) = (-2,0,-2)向量CD为：CD = D - C设C点的坐标为(x,y,z)，则向量CD可表示为：CD = (x,y,z) - (1,0,1) = (x-1, y, z-1)由题意可知，向量AB与向量CD的数量积为2，即：AB·CD = 2展开得：(-2,0,-2)·(x-1, y, z-1) = 2化简得：-2(x-1) - 2(z-1) = 2-2x + 4 - 2z + 2 = 2-2x - 2z + 4 = 2-2x - 2z = -2x + z = 1同时，由于C点在平面ABD上，所以向量AC与向量AD垂直，即：AC·AD = 0展开得：(x-1, y-2, z-3)·(1,2,3) = 0化简得：x - 2y + 3z - 14 = 0综合以上两个方程，可得：x + z = 1x - 2y + 3z - 14 = 0解得：x = 3y = 4z = -2因此，C点的坐标为(3,4,-2)。整道题的是这个