Question

设n为正整数,证明σ(n)≤nd(n)

Answer 1

问：设n为正整数,证明σ(n)≤nd(n)

答：首先，我们需要了解一下两个概念。σ(n)是n的所有正因子之和，d(n)是n的正因子个数。我们可以依据两个概念来进行证明。设n的因子为a1,a2,…,ad，其中a1

问：证明 设n为正整数,证明σ(n)Ф（n）≤n² Ф（n）为欧拉函数

问：这个呢

答：首先，我们知道欧拉函数是指小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，用φ(n)表示。欧拉定理告诉我们，当a和n互质时，a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。考虑n的所有正因数d，它们都满足n/d与n互质。所以，对于每个d，我们都有d^φ(n) ≡ 1 (mod n/d)。将这些式子相加，我们得到：σ(n) = Σd|n dφ(n/d) ≡ Σd|n d^φ(n) (mod n)注意到右边的求和中，每个d^φ(n)都是n的一个约数的平方。所以，我们可以把右边的求和写成：Σm|n m² = (Σm|n m)²这里的Σm|n m表示n的所有正约数的和，即σ(n)。所以，σ(n)² = (Σm|n m)² ≥ Σm|n m²取两边平方根得：σ(n) ≤ Σm|n m ≤ Σm=1^n m = n(n+1)/2另一方面，依据欧拉函数的定义，我们可以写出：σ(n)φ(n) ≤ nΣd|n φ(d) = n^2结合以上两个结论，我们得到：σ(n)φ(n) ≤ n^2/2·Σm|n m ≤ n²/2·n(n+1)/2 = n²/2·(n+1)这就证明了σ(n)φ(n)≤n²，即所求命题。

问：证明： 设n为正整数,证明d（n）为奇数当且仅当n为平方数

问：这个

答：首先，定义d（n）为n的因数个数。因为平方数的因数个数总是奇数，所以我们只需要证明当n不是平方数时，d（n）一定是偶数，即d（n）不一般是奇数。假设n不是平方数，那么它一定可以表示为两个质数的乘积。设这两个质数为p和q，则n=pq，因为p和q不相等且为质数，所以d（n）=4。我们可以发现，如果n不是平方数，那么它的因数一定是成对出现的，即存在一对因数a和b，使得ab=n。这是因为，如果n有一个不同于其平方根的因数c，那么n=cd，其中d=n/c，而c和d都不是n的平方根，这就意味着n至少有三个因数，与前面的结论矛盾。所以，当n不是平方数时，d（n）一定是偶数，即d（n）不一般是奇数。反之，当n是平方数时，它的因数个数一定是奇数，依据前面的推理结论，d（n）一定是奇数。综上所述，我们证明了当n为平方数时，d（n）为奇数，当n不为平方数时，d（n）为偶数。

问：最后一个 证明：设n为正整数,证明σ（n）为奇数当且仅当n为平方数或2n的平方数

答：首先，对于n为平方数或2n的平方数这两种情况，我们都可以直接验证其sigma函数为奇数。对于平方数n，其因数个数为奇数，且与之对应的因数之积也为n，所以sigma(n)为奇数。对于2n的平方数，其因数分为两类：一类为形如2^i的因子，另一类为2n的因子。其中，2n有奇数个因子，而2^i有偶数个因子（i>0），所以总因数个数为奇数，同样sigma(n)为奇数哦。其次，我们需要证明其它正整数n的sigma函数为偶数。我们可以将n分解为质因数的乘积：n=p1^a1 * p2^a2 *...*pk^ak。则n的因数个数为：div(n)=(a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)若n不为平方数或2n的平方数，则n中必存在至少一个质因数指数为奇数。设ak为奇数，则ak+1为偶数，所以div(n)为偶数，也就是sigma(n)为偶数。所以，我们证明了sigma(n)为奇数当且仅当n为平方数或2n的平方数。