Question

4.求幂级数+(-1)^n/n(x-1)^n+的收敛域.

Answer 1

问：4.求幂级数+(-1)^n/n(x-1)^n+的收敛域.

答：您好！幂级数是一种重要的数学工具，也是数学中一个非常基础的概念。幂级数可以作为函数在某个点的展开式，展示出函数在附近的特征。而在幂级数的研究中，两个非常重要的问题是收敛性和求和性。对于幂级数+(-1)^n/n(x-1)^n+，我们可以先求出该级数的通项公式，即(-1)^n/n(x-1)^n。再利用比值判别法来确定收敛域。具体来说，我们可以计算该级数相邻两项之间的比值：|a_{n+1}|/|a_n|=|(-1)^{n+1}/(n+1)(x-1)^{n+1}|×|n(x-1)^n/(-1)^n|=|x-1|/(n+1)依据比值判别法，只需要使得|a_{n+1}|/|a_n|小于1，该幂级数就会收敛。而因为|a_{n+1}|/|a_n|与n有关，所以我们需要先求出n的取值范围，即保证|x-1|/(n+1)<1。即：|x-1||x-1|-1。所以，该级数收敛的条件是|x-1|>1。至于求和性，通常可以使用求导或积分等方法，具体方法取决于级数的形式。