已知双曲线x2/a2-y2/4=1满足pf1=3pf2,则c/x0+y0的取值范围
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根据题目条件，可知双曲线的焦点到中心的距离满足pf1=3pf2，即：
c = 3a
又双曲线的标准方程为：
x^2/a^2 - y^2/4 = 1
可以将它改写为：
y^2 = 4(x^2/a^2 - 1)
考虑到双曲线在(x0,y0)处的切线斜率为y0/(x0+a^2/y0)，且此处的法线垂直于切线，因此此处的法线斜率为-(x0+a^2/y0)/y0。由于该法线过双曲线的中心点(0,0)，所以可列出方程：
y0 = -(x0+a^2/y0)/y0 * x0
化简可得：
x0^2 + y0^2 = a^2
因此，点(x0,y0)必定在双曲线的周长上。代入c=3a，可得：
(x0 + 3y0)^2 = 10y0^2
推导出：
x0^2 - 6y0^2 = 0
化简得到：
x0^2 = 6y0^2
将其代入之前的方程，可得：
7y0^2 = a^2
由于y0^2 >= 0，则a^2 >= 0，因此：
c/x0 + y0 = 3a/x0 + y0 = 3y0/x0 + y0
将x0^2 = 6y0^2代入可得：
3y0/x0 + y0 = 4y0
咨询记录 · 回答于2024-01-09
已知双曲线x2/a2-y2/4=1满足pf1=3pf2,则c/x0+y0的取值范围
根据题目条件，可知双曲线的焦点到中心的距离满足$pf_{1} = 3pf_{2}$，即：$c = 3a$。
又双曲线的标准方程为：$x^2/a^2 - y^2/4 = 1$，可以将它改写为：$y^2 = 4(x^2/a^2 - 1)$。
考虑到双曲线在$(x_{0},y_{0})$处的切线斜率为$y_{0}/(x_{0}+a^2/y_{0})$，且此处的法线垂直于切线，因此此处的法线斜率为$-(x_{0}+a^2/y_{0})/y_{0}$。由于该法线过双曲线的中心点$(0,0)$，所以可列出方程：$y_{0} = -(x_{0}+a^2/y_{0})/y_{0} \times x_{0}$。
化简可得：$x_{0}^2 + y_{0}^2 = a^2$。因此，点$(x_{0},y_{0})$必定在双曲线的周长上。
代入$c=3a$，可得：$(x_{0} + 3y_{0})^2 = 10y_{0}^2$。推导出：$x_{0}^2 - 6y_{0}^2 = 0$。化简得到：$x_{0}^2 = 6y_{0}^2$。
将其代入之前的方程，可得：$7y_{0}^2 = a^2$。由于$y_{0}^2 \geq 0$，则$a^2 \geq 0$，因此：$c/x_{0} + y_{0} = 3a/x_{0} + y_{0} = 3y_{0}/x_{0} + y_{0}$。将$x_{0}^2 = 6y_{0}^2$代入可得：$3y_{0}/x_{0} + y_{0} = 4y_{0}$。
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