Question

解含参不等式x²+ax-2<0

Answer 1

问：解含参不等式x²+ax-2<0

答：你好亲，根据你的问题描述：根据含参不等式 x² + ax - 2 < 0，我们要找到使得该不等式成立的 x 的取值范围。首先，我们可以观察到这是一个二次函数的图像，开口向上。我们希望找到所有使得函数值小于零的 x 值。为了解这个不等式，我们可以考虑关于 a 的取值情况。当 a = 0 时，不等式简化为 x² - 2 < 0。这个二次函数的图像是开口向上的抛物线，其顶点在 (0, -2) 处，因此函数值在 (-∞, -√2) 范围内小于零，在 (−√2, √2) 范围内大于零，在 (√2, +∞) 范围内小于零。当 a ≠ 0 时，我们可以考虑将不等式写成完成平方的形式。通过平方完成后，不等式可以变为 (x + a/2)² - (a²/4 + 2) < 0。这样，我们可以看出函数图像的顶点在 (-a/2, -a²/4 - 2) 处，且开口向上。因此，对于不等式成立，我们需要满足两个条件：一是顶点的纵坐标小于零，即 -a²/4 - 2 < 0；二是二次函数的图像在顶点两侧的函数值小于零。对于第一个条件，我们可以解不等式 -a²/4 - 2 0，得到 a²/4 > -2，即 a² > -8。因为 a² 一定是非负数，所以这个条件对所有实数 a 都成立。对于第二个条件，我们可以观察到二次函数的图像开口向上，当顶点的纵坐标小于零时，在顶点两侧的函数值一定小于零。因此，我们只需要考虑第一个条件即可。综上所述，不等式 x² + ax - 2 < 0 的解集为：1. 当 a = 0 时，解集为 (-∞, -√2) ∪ (√2, +∞)；2. 当 a ≠ 0 时，解集为整个实数集，即 (-∞, +∞)。希望上述解答对您有所帮助！如需进一步了解或有其他问题，请随时提问哦~ 