Question

已知一个曲线y=f(x)在(x,f(x))处切线斜率为x^2-2x且过(1，0)，求y=f(x)

Answer 1

问：已知一个曲线y=f(x)在(x,f(x))处切线斜率为x^2-2x且过(1，0)，求y=f(x)

答：感谢您的耐心等待，y=f(x) 的方程为：y = -(x-x_0)^2 + x_0 - 1已知曲线 y=f(x) 在 (x,f(x)) 处的切线斜率为 x^2-2x 且过点 (1,0)，求 y=f(x)。已知曲线 y=f(x) 在 (x,f(x)) 处的切线斜率为 x^2-2x，则该点处的切线方程为：y-f(x) = (x^2-2x)(x-x_0)其中，x_0 为切点的 x 坐标。又因为该切线过 (1,0)，代入得：0-f(1) = (1^2-2*1)(1-x_0)化简得到：f(1) = x_0 - 1又因为 f(x) 在 x_0 处可导，所以该切线也是曲线在 (1,0) 处的切线。于是我们可以列出y-f(1) = (x-x_0)(x^2-2x)|_{x=1}代入函数值得到：y - f(1) = -(x_0-1)^2将 f(1) = x_0 - 1 代入得到：y = -(x-x_0)^2 + x_0 - 1因此，曲线 y=f(x) 的方程为：y = -(x-x_0)^2 + x_0 - 1其中 x_0 为曲线在 (1,0) 处的横坐标。

问：可以用不定积分的方法解答吗

答：已知曲线 y=f(x) 在 (x,f(x)) 处的切线斜率为 x^2-2x，则可得到：dy/dx = x^2 - 2x对上式两边进行不定积分，得到：y = ∫(x^2 - 2x) dx = x^3/3 - x^2 + C其中 C 是积分常数。由于该曲线经过点 (1,0)，将 (x,y)=(1,0) 带入上式，解出 C：0 = 1^3/3 - 1^2 + C => C = 2/3因此，y = x^3/3 - x^2 + 2/3即为所求。

问：可以再问一道题吗

问：已知∫f(x)dx=x^2sinx+C,求f(x)与f'(x)

答：感谢您的耐心等待。f(x) = 2x sin x + x^2 cos x，f'(x) = 2sin x + 2x cos x - x^2 sin x。以下是解析过程：根据微积分的基本原理，函数 f(x) 的导数就是它的原函数 F(x)。因此：f(x) = F'(x) = d/dx ( x^2 sin x + C ) = 2x sin x + x^2 cos x因此，f(x) = 2x sin x + x^2 cos x。另外，由于题目给出了 f(x) 的一个原函数，我们还可以通过求导验证 f(x) 的正确性：d/dx ( x^2 sin x + C ) = d/dx ( x^2 sin x ) + d/dx C = 2x sin x + x^2 cos x + 0 = f(x)因此，f(x) = 2x sin x + x^2 cos x，f'(x) = 2sin x + 2x cos x - x^2 sin x。