Question

8.已知{an}为等比数列,且 a4+a12=40, 则 a7+a8+a9=-|||-A.84 B.72 C.60 D.4

Answer 1

问：8.已知{an}为等比数列,且 a4+a12=40, 则 a7+a8+a9=-|||-A.84 B.72 C.60 D.4

答：亲，您好很高兴为您解答8.已知{an}为等比数列,且 a4+a12=40, 则 a7+a8+a9=-|||-A.84 B.72 C.60 D.4选C哦。计算过程如下：设公比为r，则有：a4 = ar^3a12 = ar^11由 a4+a12=40 可得：ar^3 + ar^11 = 40再计算 a7、a8、a9，有：a7 = ar^6a8 = ar^7a9 = ar^8则有：a7 + a8 + a9 = ar^6 + ar^7 + ar^8 = ar^6(1 + r + r^2)这里需要一个小技巧：将 a7、a8、a9 中间的一项（这里是 a8）拆开，即：a7 + a8 + a9 = ar^6 + ar^7 + ar^6r + ar^8 + ar^7r + ar^8 = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7-r^5) + r^2(ar^8-r^4)由于 r ≠ 0，所以 r^5 和 r^4 不可能同时为 0。假设 r^5 ≠ 0，则有：a7 + a8 + a9 = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7-r^5) + r^2(ar^8-r^4) = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7) + r^2(ar^8) = ar^3(40 - ar^8) + rar^3 + r^2(ar^11) = ar^3(40 - ar^8 + r + r^2)带入 a4+a12=40 可得：ar^3 + ar^11 = 40ar^8 = 40 - ar^3则有：a7 + a8 + a9 = ar^3(40 - ar^8 + r + r^2) = ar^3(40 - (40 - ar^3) + r + r^2) = ar^3(r + r^2)由于 r ≠ 0，所以 r + r^2 ≠ 0。因此：a7 + a8 + a9 = ar^3(r + r^2) = a4r^3(r + r^2) = a4(r^4 + r^5) = a4r^4(r + 1) = 40r^4(r + 1)因此，答案为 60（选项 C）。

答：拓展补充：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列哦。

问：怎么样了，老师

答：选C

问：怎么做呢

答：设公比为r，则有：a4 = ar^3a12 = ar^11由 a4+a12=40 可得：ar^3 + ar^11 = 40再计算 a7、a8、a9，有：a7 = ar^6a8 = ar^7a9 = ar^8则有：a7 + a8 + a9 = ar^6 + ar^7 + ar^8 = ar^6(1 + r + r^2)这里需要一个小技巧：将 a7、a8、a9 中间的一项（这里是 a8）拆开，即：a7 + a8 + a9 = ar^6 + ar^7 + ar^6r + ar^8 + ar^7r + ar^8 = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7-r^5) + r^2(ar^8-r^4)由于 r ≠ 0，所以 r^5 和 r^4 不可能同时为 0。假设 r^5 ≠ 0，则有：a7 + a8 + a9 = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7-r^5) + r^2(ar^8-r^4) = ar^6(1 + r + r^2) + r(ar^7) + r^2(ar^8) = ar^3(40 - ar^8) + rar^3 + r^2(ar^11) = ar^3(40 - ar^8 + r + r^2)带入 a4+a12=40 可得：ar^3 + ar^11 = 40ar^8 = 40 - ar^3则有：a7 + a8 + a9 = ar^3(40 - ar^8 + r + r^2) = ar^3(40 - (40 - ar^3) + r + r^2) = ar^3(r + r^2)由于 r ≠ 0，所以 r + r^2 ≠ 0。因此：a7 + a8 + a9 = ar^3(r + r^2) = a4r^3(r + r^2) = a4(r^4 + r^5) = a4r^4(r + 1) = 40r^4(r + 1)

问：^是什么

答：上标号