Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),点F1,F2是椭圆的左,右焦点，点A是椭圆上一点，,△AF1F2的内切圆的圆心为M，若3倍向量MF1+2倍向量MF2+向量MA=向量0,则椭圆的离心率为

Answer 1

问：已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),点F1,F2是椭圆的左,右焦点，点A是椭圆上一点，,△AF1F2的内切圆的圆心为M，若3倍向量MF1+2倍向量MF2+向量MA=向量0,则椭圆的离心率为

答：您好，很高兴为您解答！首先，我们知道椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为（c,0）和（-c,0），其中c为焦距，由于椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1，可以得到c²=a²-b²。设椭圆上点A的坐标为（x1，y1），根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：3·(x1-c)+2·(x1+c)+x1=03x1-3c+2x1+2c+x1=06x1=0x1=0因此，点A在椭圆的原点处。内切圆的圆心为M，在△AF1F2内切圆的圆心M的坐标为（0，-r），其中r为内切圆的半径。根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：3·(-r)+2·r=0-3r+2r=0-r=0因此，内切圆的半径r为0，即内切圆退化为一个点，即M和A重合，即点M的坐标为（0，0）。根据椭圆的离心率公式：e=sqrt(1-b²/a²)，代入a>c=b>0，得到e=sqrt(1-(b²/a²))=sqrt(1-(b²/(c²+b²)))=sqrt(1/(1+c²/b²))综上所述，椭圆的离心率为sqrt(1/(1+c²/b²))。

问：要求一个具体得数值

答：您好，很高兴为您解答！于F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以c = √(a² - b²)。并且根据椭圆的定义，点A满足条件 x²/a² + y²/b² = 1。根据题意，3倍向量MF1+2倍向量MF2+向量MA=向量0，可以得到如下两个方程：1. 3((-c - x), -y) + 2((c - x), -y) + (x, y) = (0, 0)2. (-c - x)² + (-y)² - a² + (c - x)² + (-y)² - a² + x²/a² + y²/b² - 1 = 0对方程1进行整理得到：(3c - 5x, -5y) = (0, 0)即3c - 5x = 0，-5y = 0，解得 x = 3c/5，y = 0。将x = 3c/5代入方程2得到：9c²/25 + y²/b² - a² + 4c²/25 + y²/b² - a² + 25x²/9a² + y²/b² - 1 = 013c²/25 + 27x²/9a² + 3y²/b² - 2a² - 1 = 0由于A点在椭圆上，所以有：(x/3)²/a² + y²/b² = 1将x = 3c/5代入上式得到：(3c/15)²/a² + y²/b² = 19c²/225 + y²/b² = 1将上式中的9c²代入方程13c²/25 + 27x²/9a² + 3y²/b² - 2a² - 1 = 0，得到：13(9c²)/25 + 27(9c²)/(9a²) + 3y²/b² - 2a² - 1 = 0117c²/25 + 27c²/a² + 3y²/b² - 2a² - 1 = 0(120c² + 75y²)/(25a²) - 2a² - 1 = 0(120(a² - b²) + 75y²)/(25a²) - 2a² - 1 = 0(120a² - 120b² + 75y²)/(25a²) - 2a² - 1 = 0(120a² - 120b² + 75y²) - 50a⁴ - 25a² = 0120a² - 120b² + 75y² - 50a⁴ - 25a² = 0120a² - 25a⁴ - 24b² + 75y² = 0

答：您好，很高兴为您解答！由于椭圆方程为 x²/a² + y²/b² = 1，可以得到 25x²/a² + 25y²/b² = 25。将 x = 3c/5 代入上式得到：25(3c/5)²/a² + 25y²/b² = 259c²/a² + 25y²/b² = 25将上式代入方程120a² - 25a⁴ - 24b² + 75y² = 0，得到：120a² - 25a⁴ - 24b² + 3(9c²/a² + 25y²/b²) = 0120a² - 25a⁴ - 24b² + 27c²/a² + 75y²/b² = 0合并同类项，得到：120a² + 27c²/a² - 25a⁴ - 24b² + 75y²/b² = 0将 c² = a² - b² 代入上式得到：120a² + 27(a² - b²)/a² - 25a⁴ - 24b² + 75y²/b² = 0120a² + 27a²/a² - 27b²/a² - 25a⁴ - 24b² + 75y²/b² = 0(147a² - 27b²)/a² - 25a⁴ - (24b² - 75y²)/b² = 0(147a² - 27b² - 25a⁴)/a² - (24b² - 75y²)/b² = 0根据椭圆离心率的定义 e = √(a² - b²)/a，将 c² = a² - b² 代入得到：e = √(a² - (c² - a²))/ae = √(2a² - c²)/ae = √(2a² - (a² - b²))/ae = √(2b²)/ae = √2b/a所以椭圆的离心率为 √2b/a。