Question

在三角形ABC中,AB=20,AC=9点M为BC的中点,AD平分三角形ABC的外角角CAE,

Answer 1

问：在三角形ABC中,AB=20,AC=9点M为BC的中点,AD平分三角形ABC的外角角CAE,

答：因为M为BC的中点，所以BM=MC。又因为AD平分∠CAE，所以∠BAC=2∠CAE。设∠CAE=x，则∠BAC=2x。又因为三角形ABC中，AB=20, AC=9，所以根据余弦定理，有：$$\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC\&=20^2+9^2-2\cdot20\cdot9\cdot\cos2x\&=481-360\cos2x.\end{aligned}$$因为M为BC的中点，所以$BM=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{481-360\cos2x}$， $CM=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{481-360\cos2x}$。因为AD平分∠CAE，所以∠CAD=∠EAD=x。又因为三角形ACD中，AD=12，AC=9，所以根据正弦定理，有：$$\begin{aligned}\frac{DE}{\sin x}&=\frac{AD}{\sin\angle ADE}\&=\frac{AD}{\sin\angl

答：因为AD平分∠CAE，所以∠CAD=∠EAD=x。又因为三角形ACD中，AD=12，AC=9，所以根据正弦定理，有：$$\begin{aligned}\frac{DE}{\sin x}&=\frac{AD}{\sin\angle ADE}\&=\frac{AD}{\sin\angle ADC}\&=\frac{AC}{\sin\angle ACD}\&=\frac{9}{\sin x}.\end{aligned}$$故$DE=9$。