Question

12.已知a, b, c(1,+) , a-lna=2 , b-1/2=lnb+2ln2 , c-sin1=lnc+tan1比较abc的大小

Answer 1

问：12.已知a, b, c(1,+) , a-lna=2 , b-1/2=lnb+2ln2 , c-sin1=lnc+tan1比较abc的大小

答：首先，对于 $a-lna=2$，我们可以移项得到 $a=e^{a-2}$。对于 $b-\frac{1}{2}=lnb+2ln2$，我们可以移项得到 $b-lnb=2ln2+\frac{1}{2}$。这是一个形如 $x-lnx=k$ 的方程，在 $x>0$ 的条件下，它的解可以表示为 $x=e^{k+W(k)}$，其中 $W(k)$ 为 Lambert W 函数，$k$ 为常数。在这里，我们有 $k=2ln2+\frac{1}{2}$，因此 $b=e^{2ln2+\frac{1}{2}+W(2ln2+\frac{1}{2})}=e^{W(2ln2+\frac{1}{2})+5}$。这个解可以使用数值计算来近似。

答：对于$c-sin1=Inc+tan1$，我们可以移项得到$c-lnc=cos1+\frac sin1](cos1-1$。这个式子不好直接处理，我们不妨考虑函数 $f(x)=x-lnx$，它的导数为$f'(x)=1-\frac1]x$，因此在$x>0$时$f(x)$是单调递增的。这意味着，在$[1，e]$的区间内，$f(x)$的取值范围是$[0，1)$。因此我们有：$$c-lnc=cos1+\frac(sin1)(cos1j-1> cos1> 0$$因此$c>lnc$，即$c>e$。综上，我们可以得到$b>c>a$，其中$a=e^(a-2)$，$b=e^(W(2ln2+\fracf1](2)+5j$，$c>e$，其中$W(x)$是LambertW函数。

答：亲亲，去掉$符号，^符号表示次方的意思，就是正确答案了

答：亲亲，还有方法二你也可以参考。

答：首先将 a-lna=2 称为方程1，将 b-1/2=lnb+2ln2 称为方程2，将 c-sin1=lnc+tan1 称为方程3。对于方程1，将其两侧加上 ln a，得到 a ln a - ln a = 2 + ln a，合并同类项并化简，得到 a ln a = 2 + ln a。对于方程2，将其两侧加上 1/2 + ln 2，得到 b - 1/2 - ln b - 2 ln 2 + 1/2 + ln 2 = 0，合并同类项并化简，得到 b - ln b = -1。对于方程3，将其两侧加上 sin 1，得到 c - sin 1 - lnc = tan 1，化简得到 c = lnc + tan 1 + sin 1。要比较 a、b、c 的大小，我们可以转化为比较 ln a、ln b、ln c 的大小，因为 ln 函数是单调递增的。对于方程1，将其两侧取对数，得到 ln a + ln ln a = ln(2 + ln a)，整理得到 ln ln a = ln(2 + ln a) - ln a。

答：对于方程2，将其两侧取对数，得到 ln b - ln(1/2) - 2 ln 2 = ln ln b，整理得到 ln ln b = ln b - ln(1/2) - 2 ln 2。对于方程3，将其两侧取对数，得到 ln c = ln(lnc + tan1 + sin1)。因为 a>1，所以 ln a>0，而根据方程1的推导可知 ln ln a>0。再结合方程2和3的推导，可以得到：ln ln a > ln ln b > ln c即 a>c>e^b。因此，排列起来大小是c>a>b。