Question

拉普拉斯定理

Answer 1

问：拉普拉斯定理

答：拉普拉斯定理（Laplace's method）是一种在摄动 理论中经常使用的工具，用于计算随机变量取绝对值后的期望值。它描述了当自变量的绝对值趋近于极大值时，函数的极值点是如何影响函数极限的。具体而言，如果存在一个连续可微函数$f(x)$，一个实数$a$和一个正实数$c$，那么当$c \rightarrow \infty$时，下式的值大约为：$$\int_a^b e^{c\cdot g(x)}f(x)dx \sim \sqrt{\frac{2\pi}{c|g''(x_0)|}} e^{c\cdot g(x_0)}f(x_0)$$其中，$|g''(x_0)|$ 表示在极值点 $x_0$ 处的二阶导数的绝对值，常数前的系数是一个标准正态分布的形式，即 ${1}/{\sqrt{2\pi}}$。简单来说，拉普拉斯定理给出了当 $c$ 很大时积分的主要贡献，其主要来自于函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的值和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的值和二阶导数的贡献。