Question

求曲面Z=4−x平方−y平方和xoy面所围成的空间立体的体积

Answer 1

问：求曲面Z=4−x平方−y平方和xoy面所围成的空间立体的体积

答：求由曲面z=4-x²-y²与xoy面所围成的几何体的体积解：这是一个以z轴为轴线，底面半径r=2，高h=4，母线为开口朝下的抛物线z=4-x²绕z轴旋转一周所成的旋转抛物面。取厚度为dz，半径为r=√(4-z)且平行于xoy平面的薄园片，此园片的微体积dvdv=πr²dz=π(4-z)dz；故体积V=∫【0,4】dv=π∫【0,4】(4-z)dz=π[4z-(1/2)z²]【0,4】=π(16-8)=8π;

答：利用极坐标求解联立z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2消去z得x^2+y^2=2（图略。z2在上z1在下）知方体Ω在xoy面投影区域为D:x^2+y^≤2极坐标中0≤θ≤2π,0≤r≤√2那么立体的Ω体积V=∫∫(z2-z1)dxdy=3∫∫(2-x^2-y^2)dxdy=3∫(0,2π)dθ∫（2-r^2)rdr=6π[2r^2-(1/4)r^4]|(0,√2)=6π