Question

18.(1)已知x,y为正实数,且x+y=2,求证:(1+x)/y与1+y/x中至少有一个不大于2

Answer 1

问：18.(1)已知x,y为正实数,且x+y=2,求证:(1+x)/y与1+y/x中至少有一个不大于2

答：由于x和y都是正实数, 所以$x>0$和$y>0$。根据题目中给出的条件$x+y=2$，我们可以得到$y=2-x$。将$y$表示为$2-x$后，$(1+x)/y$的值就可以写成$(1+x)/(2-x)$，$1+y/x$的值可以写成$1+(2-x)/x$。显然$1+y/x$不大于2当且仅当$2-x\leq x$，即$x\geq 1$。因为$x$为正实数，所以当$x\geq 1$时，$(1+x)/y$的值为$(1+x)/(2-x)$也不大于2。根据以上分析，我们可以得出结论：当$x+y=2$时，$(1+x)/y$与$1+y/x$中至少有一个不大于2。