Question

设f(x)为一n次多项式，如果 f(x)的导数|f(x)，证明f(x)有n重根

Answer 1

问：设f(x)为一n次多项式，如果 f(x)的导数|f(x)，证明f(x)有n重根

答：设f(x)为一n次多项式，如果f(x)的导数|f(x)，证明f(x)有n重根是设f(x)的导数为g(x)，则有：f'(x) = g(x)。我们假设f(x)有n个不同的根r1, r2, ..., rn。则f(x)可以表示为：

答：f(x) = (x-r1)(x-r2)...(x-rn)q(x)

答：其中 $q(x)$ 是一个多项式，且在所有 $ri$ ( $1 \leq i \leq n$ ) 处取值不为 $0$。由于求导是一种线性运算，所以可以得到： $f'(x) = q(x) \lbrack(x-r_{2})\ldots(x-r_{n}) + (x-r_{1})\ldots(x-r_{n-1}) + \ldots + (x-r_{1})\ldots(x-r_{n-1})\rbrack + (x-r_{1})\ldots(x-r_{n})q'(x)$ 可以看出， $f'(x)$ 中含有 $n$ 项 $(x-r_{i})(x-r_{j})(i \neq j)$ 的项，且这些项的系数都不为 $0$。因此，当 $x = ri$ 时， $f'(x) \neq 0$ ( $1 \leq i \leq n$ )。但是，我们假设 $f'(x) = g(x) = 0$ ，所以有矛盾。因此，我们的假设是不正确的。综上所述，当 $f(x)$ 的导数 $g(x) = 0$ 时， $f(x)$ 必定有 $n$ 个重根。证毕。