Question

已知a,b是不同非零数字,求证:它们与0组成的没有重复数字的三位数之和是211的+

Answer 1

问：已知a,b是不同非零数字,求证:它们与0组成的没有重复数字的三位数之和是211的+

答：您好，我们可以列式子进行证明：设a、b分别为不同的非零数字，不妨设a0，所以2×(211-k)>0，即220-k>0，因此可以得到k<220.又因为a+b=k，所以a+b<220，而a和b分别是1~9之间的数字，所以它们的和a+b最大值为9+8=17，因此k<=17.综合得到 0

答：您好，因此，原命题得证：已知a,b是不同非零数字,则它们与0组成的没有重复数字的三位数之和是211的只有一组解，即1+6+0=7+7+0=3+4+8=211。

问：已知a,b是不同非零数字,求证:它们与0组成的没有重复数字的三位数之和是211的倍数

答：您好，可以用数学归纳法证明此命题，因为只需考虑三个非零不同数字的情况即可。当a,b是两个不同的一位数时，其组成的三位数为100a+10b，100b+10a。它们与0组成的三位数之和为100a+10b+0+100b+10a+0=110(a+b)，我们需要证明110(a+b)是211的倍数。211是质数，因此可知a+b模211的余数只有1到210之间的整数，我们可以将a+b表示为211n+k的形式，其中n为整数，k为1到210之间的整数余数。则110(a+b)为110(211n+k)=2110n+110k，即211的倍数。因此当a,b是两个不同的一位数时，它们与0组成的没有重复数字的三位数之和一定是211的倍数。假设对于任意的不同非零数字a,b，它们与0组成的没有重复数字的三位数之和是211的倍数。现在考虑三个不同的非零数字a,b,c。它们与0组成的三位数之和为：100a+10b+0+100b+10c+0+100c+10a+0=(100a+10b+10c+10a)+(100b+10a+10c+10b)+(100c+10a+10b+c)=220(a+b+c)