Question

例题1:如图,在三角形ABC中，角ABC的角平分线BD与AC交于点D，过点D作DF 平行BC，与AB交于点F，过点D作DE平行AB，与BC交于点E。1. 四边形BEDF是什么图形？请说明理由。2. 延长DF与角ABC的外角平分钱交于点G，若BA=BC,求证四边形BGAD是矩形。3. 当三角形满足什么条件时，四边形BDAG是正方形？

Answer 1

问：例题1:如图,在三角形ABC中，角ABC的角平分线BD与AC交于点D，过点D作DF 平行BC，与AB交于点F，过点D作DE平行AB，与BC交于点E。1. 四边形BEDF是什么图形？请说明理由。2. 延长DF与角ABC的外角平分钱交于点G，若BA=BC,求证四边形BGAD是矩形。3. 当三角形满足什么条件时，四边形BDAG是正方形？

答：1. 四边形BEDF是梯形。因为DE∥AB，DF∥BC，所以BEDF是梯形。2. 由题意知，∠BAC=∠BCA，所以∠BAG=∠CAG，所以AG是∠ABC的外角平分线，又因为DF∥BC，所以∠BFD=∠ADC=∠ABC，所以∠BFG=∠BFD+∠DFG=∠ABC+∠CAG=180°，所以B、F、D、G四点共线，又因为BA=BC，所以BG与AC垂直，所以BG∥DE，又因为DF∥AB，所以BDGF是矩形。3. 因为BDGF是矩形，所以BG=DF，又因为DE∥AB，所以DF=AB，所以BG=AB，即证四边形BDAG是正方形，当且仅当AB=BG时，即∠BAC=∠BCA且BA=BC。

问：第二小题要求四边形BGAD是矩形

答：1. 四边形BEDF是梯形。因为DE与AB平行，BF与DE平行，所以四边形BEDF是梯形。2. 由于BA=BC，所以角BAC=角BCA，又因为BD是角ABC的角平分线，所以角ABD=角CBD，又由于DF是角ABC的外角平分线，所以角ABD=角CBD=角DBF，因此三角形BDF是等腰三角形，即BD=BF。又因为BG是角ABC的外角平分线，所以角ABG=角CBG=角DBF，所以角ABG=90度，所以四边形BGAD是矩形。3. 当BD=DA，且角ABD=90度时，四边形BDAG是正方形。因为BD是角ABC的角平分线，所以角ABD=角CBD，又因为三角形BDF是等腰三角形，所以角DBF=角BDF，又因为DF与AB平行，所以角BDF=角ABD，所以角ABD=角CBD=角DBF=角BDF。即四个角都相等，所以四边形BDAG是平行四边形，又因为BD=DA，所以四边形BDAG是菱形，再因为角ABD=90度，所以四边形BDAG是正方形。