Question

第2题已知信号f(t)=2+3sint+cost-2cos(2t)-2sin(2t)-sin(3t)(1)写出信号的简

Answer 1

问：第2题已知信号f(t)=2+3sint+cost-2cos(2t)-2sin(2t)-sin(3t)(1)写出信号的简

答：化形式；将信号分解为基本信号的叠加形式，可以得到：f(t) = 2 + 3sin(t)cos(0) + 1sin(t)sin(π/2) + (-2)cos(2t)cos(0) + (-2)sin(2t)sin(π/2) + (-1)sin(3t)cos(0)因此，信号f(t)的简化形式为：f(t) = 2 + 3sin(t) + sin(t+π/2) - 2cos(2t) - 2sin(2t+π/2) - sin(3t)其中，sin(t+π/2)可以化简为cos(t)，sin(2t+π/2)可以化简为cos(2t)。因此，上式可以进一步简化为：f(t) = 2 + 3sin(t) + cos(t) - 2cos(2t) - 2cos(2t) + sin(3t)f(t) = 2 + 3sin(t) + cos(t) - 4cos(2t) + sin(3t)(2)求出信号f(t)的频谱表示式。根据傅里叶变换的定义，可以得到信号f(t)的频谱表示式为：F(ω) = ∫[-∞,∞]f(t)exp(-jωt)dt对于信号f(t)，可以将其分解为各个基本信号的叠加形式，进而得到每个基本信号的频谱表示式。由于cos(ωt)的傅里叶变换为π[δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0)]，sin(ωt)的傅里叶变换为jπ[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)]，因此可以得到：F(ω) = 2πδ(ω) + 3π[δ(ω-1) + δ(ω+1)] + π/2[jδ(ω-1) - jδ(ω+1)] - 4π[δ(ω-2) + δ(ω+2)] + π/2[jδ(ω-3) - jδ(ω+3)]因此，信号f(t)的频谱表示式为：F(ω) = 2πδ(ω) + 3π[δ(ω-1) + δ(ω+1)] + π/2j[δ(ω-1) - δ(ω+1)] - 4π[δ(ω-2) + δ(ω+2)] + π/2j[δ(ω-3) - δ(ω+3)]

问：（1）写出简谐形式表达式2.复指数傅里叶级数表达式3画出单边频谱和双边频谱图

答：为了方便表示，下文用符号omega代替角频率2pif，其中f为信号的频率。（1）信号的简谐形式表达式：首先将信号f(t)中的三角函数项化为复指数形式：f(t) = 2 + 3sin(t) + cos(t) - 2cos(2t) - 2sin(2t) - sin(3t)= 2 + 3 * (e^(jt) - e^(-jt))/(2j) + e^(jt) + e^(-jt) - 2(e^(2jt) + e^(-2jt))/2 - e^(3jt)/(2j) + e^(-3jt)/(2j)= 2 + (3/2j)(e^(jt) - e^(-jt)) + (1/2)(e^(jt) + e^(-jt)) - (e^(2jt) + e^(-2jt)) - (1/2j)*(e^(3jt) - e^(-3jt))可以发现，上式中的每一项都可以写成复指数形式ae^(jwt)的形式，因此将其合并，得到信号f(t)的简谐形式表达式：f(t) = 2 + 2.5e^(jt) - 0.5e^(-jt) - 2(e^(2jt) + e^(-2jt)) - 0.5j*(e^(3jt) - e^(-3jt))（2）信号的复指数傅里叶级数表达式：将f(t)展开为复指数傅里叶级数：f(t) = sum(Cn * e^(jnomegat), n=-∞ to ∞)其中，Cn是信号的频域系数，由以下公式计算：Cn = (1/T) * int(f(t) * e^(-jnomegat), t=-T/2 to T/2)其中T是信号的周期，由于f(t)是一个非周期信号，因此我们可以考虑将其展开为一个带窗函数的级数：f(t) = 2w(t/T) + 3sin(t)w(t/T) + cos(t)w(t/T) - 2cos(2t)w(t/T) - 2sin(2t)w(t/T) - sin(3t)w(t/T)其中w(t/T)是矩形窗函数，当t在[-T/2,T/2]内时取值为1，否则为0。带入公式，可以得到频域系数Cn的表达式：Cn = (1/T) * int(f(t) * e^(-jnomega*t)*w(t/T), t=-∞ to ∞)（3）单边频谱和双边频谱图：将信号f(t)的复指数傅里叶级数展开后，可以得到其频谱。由于f(t)是一个实信号，因此其频谱是对称的，可以考虑画出单