Question

3.求方程 xy``-y`=x 的通解.

Answer 1

问：3.求方程 xy``-y`=x 的通解.

答：亲亲，我们可以使用常系数线性齐次微分方程的求解方法来求解该方程。首先，将方程 xy``-y`=x 称为一阶齐次线性微分方程 y`(x) + P(x)y(x) = 0 的伯努利形式，其中 P(x) = -1/x。接着，令 z(x) = y`(x)/y(x)，则有：z`(x) = (y``(x)y(x)-y`(x)²)/y²(x) = x/y²(x)将 z(x) 带入上述伯努利形式中，可得：z`(x) + (-1/x)z(x) = 1/x对于这个一阶线性微分方程，我们可以使用积分因子法来求解，其积分因子为 μ(x) = exp(-∫P(x)dx) = exp(ln|x|) = |x|。将积分因子乘到方程两边，可得：|xy(x)|z`(x) + y(x)z(x) = 1根据乘积求导公式，可得：(|xy(x)|y(x)z(x))` = 1对上式两边同时进行积分，可得：|xy(x)|y(x)z(x) = x + C其中 C 是任意常数。将 z(x) 和 y(x) 的表达式代入上式，可得：|xy(x)|(y'(x)/y(x)) = x + C化简后得：|y(x)| * |y(x)'| = k * x²其中 k 是常数，等于 |C|。将上式转化为可分离变量形式，得到：|y(x)| dy/dx = ±k * x²对左右两边同时积分，分别取正负号，可得：y^2 = Ax^3 或 y^2 = B (其中 A, B 均为常数)因此，方程 xy``-y`=x 的通解为 y(x) = ±sqrt(Ax^3 + B)，其中 A, B 为任意常数。

问：可以用我这种方法吗？我不知道最后那个p怎么解出来

答：对于给定的微分方程 xy``-y`=x，我们可以使用常系数线性齐次微分方程的解法来求其通解。首先，写出该微分方程的特征方程：r^2 - 1/r = 0解这个方程可得两个根：r = 1 或 r = -1/2因此，通解形如：y = c1 x + c2 x^(-1/2)其中，c1 和 c2 是待定常数。现在需要使用初值条件来确定这些常数的值。假设初始条件是 y(1) = a 和 y'(1) = b，代入通解中可得：a = c1 + c2b = c1/2 - c2/(2sqrt(x))将以上两式联立，消去 c1 和 c2 可得：c1 = (a + b sqrt(x))/2c2 = (a - b sqrt(x))/2将 c1 和 c2 代回通解中即可得到该微分方程的通解：y = (a + b sqrt(x))x/2 + (a - b sqrt(x))/2x^(1/2)

问：那这个怎么解？答案是多少？

答：亲亲，我这边接受不到图片信息哦，您方便将题目用文字的形式发给我吗？

问：∫(e∧-∫1/xdx)dx

答：让我们逐步简化这个积分。首先，我们来处理指数中的表达式：∫(1/x)dx这个积分等于ln|x| + C，其中C是常数。接下来，我们可以将这个表达式代回到原始积分中：∫e^(-ln|x|+C) dx利用对数的性质，我们可以将它写成：∫e^(C) / |x| dx绝对值符号保证被积函数始终为正，这意味着我们可以将积分分成两部分：∫e^(C) / x dx - ∫e^(C) / (-x) dx这两个积分都可以计算出来，得到的结果都是-e^(C) * ln|x| + K，其中K是积分常数。将这两个结果组合起来就得到了最终的答案：-e^(ln|x|+C)ln|x| + K= -xln|x| + K因此，原积分∫(e∧-∫1/xdx)dx的解为-xln|x| + K。

问：好的，谢谢

问：∫xlnxdx怎么解？

答：我们可以使用分部积分法来求解该积分。令u = ln x，dv = x dx，则有：du/dx = 1/x，v = (1/2)x^2根据分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du将u和v代入上式，并进行简化，得到:∫xlnxdx = (1/2)x^2 ln x - (1/4)x^2 + C其中C为常数项。因此，原积分∫xlnxdx的解为(1/2)x^2lnx - (1/4)x^2 + C。