Question

为什么(-1)^n/n收敛

Answer 1

问：为什么(-1)^n/n收敛

答：对于这个级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，它是一个交替级数(alternating series)，即它的每一项交替正负。我们要证明这个级数是收敛的，有两个关键步骤:1. 交替级数的绝对值递减性：对于所有的$n$，我们有$0 < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$。这意味着级数的每一项的绝对值递减，即$|\frac{(-1)^n}{n+1}| < |\frac{(-1)^n}{n}|$。2. 利用交替级数的Leibniz准则：如果一个交替级数的绝对值递减，并且逼近0，那么这个级数是收敛的。在这个级数中，我们可以看到绝对值递减且趋近于0，因为对于每个$n$，$\frac{1}{n}$是一个正数且趋近于0。因此，根据Leibniz准则，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$是收敛的。因此，我们可以得出结论，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$是收敛的。