Question

微分中dx乘dx为什么在高数课本中记作dx＾2而不是(dx)＾2

Answer 1

问：微分中dx乘dx为什么在高数课本中记作dx＾2而不是(dx)＾2

答：亲亲您好，在微积分中，符号 "dx" 表示一个微小的变化量，类似于无穷小量。因此，在微积分中，"dx" 是不可分割的单元，不能把它拆分成更小的部分。

答：当使用微积分中的符号进行计算时，例如求导，通常将微小的变化量 "dx" 和 "dy" 看作无穷小量，因此其乘积 "dx * dy" 可以被忽略，即视为零。因此，高等数学课本中经常将 "dx * dx" 简写为 "dx^2"，而不是 "(dx)^2"，以表达这种思想。另外，有时为了方便表示微积分中的符号，还会将其视为代数符号，例如可以将 "dx" 看作一个无穷小的实数，类似于变量。在这种情况下，我们可以将 "dx * dx" 写作 "dx^2"，就像我们将 "x * x" 写作 "x^2" 一样。这样可以使微积分的表示更加简洁和易于理解。[比心][比心]

问：但是dx乘dx是两个无穷小量的乘积一般情况下是可以忽略的，如果把他看成d(x＾2)不就等于2xdx了吗

答：亲，在微积分中，dx代表一个极小的增量，但它并不是一个实数，也不是一个无穷小量。因此，在计算微积分中的问题时，我们不能简单地将dx看作无穷小量。当我们计算dx乘dx时，实际上是在计算两个极小增量之间的乘积。因为这些增量非常小，所以它们的乘积相对于其他项来说是非常小的，因此可以在计算中被忽略。

答：还有，另一方面，当我们将d(x^2)写成2xdx时，这是一个推导过程，可以使用微积分的规则进行推导。这个过程并不是将dx看作无穷小量的结果，而是将微积分中的符号和规则应用到问题中的结果。因此，dx乘dx不能简单地被看作是无穷小量的乘积，而d(x^2)等于2xdx是一个通过微积分规则推导出的结果。

问：但是在实际应用中我们计算圆环的面积时

问：dx乘dx往往是高阶无穷小被忽略

答：亲亲，很抱歉。请将您的问题用文字表达哦！

问：例如在物理计算中

答：亲亲，你把问题一次说完，不然您就只有6条发送消息。

问：(r+dx)＾2减去r＾2等于2rdx

答：亲亲，在实际应用中，我们可以将dx乘dx作为高阶无穷小量被忽略，因为它相对于其他项来说是非常小的。这个做法被称为一阶线性近似或小量近似。例如，当计算圆环的面积时，我们可以将圆环的面积近似为一个薄的环形带，其面积可以表示为2πr*dx，其中dx是环形带的厚度。然后我们可以忽略dx的平方项(dx^2)，因为它是高阶无穷小量，即dx的二次项。因此，我们可以将(dx)^2替换为0，然后将(r+dx)^2-r^2展开，得到2rdx作为环形带的面积的一阶近似值。

答：这种近似方法在物理学中很常见，因为它允许我们通过简单的数学方法得到物理量的近似值，而无需进行复杂的计算。但是，需要注意的是，这种近似方法并不是在所有情况下都是正确的，特别是当考虑到高精度计算或极端情况时，这种近似方法可能不再适用。