Question

2.利利高斯公式计算积分 {x x^3dydz+y^2dzdx+z^2dxdy, 其中为球面 x^2+y^2+z^

Answer 1

问：2.利利高斯公式计算积分 {x x^3dydz+y^2dzdx+z^2dxdy, 其中为球面 x^2+y^2+z^

答：利利高斯公式计算积分 {x x^3dydz+y^2dzdx+z^2dxdy, 其中为球面 x^2+y^2+z^：确定曲面S和它所包围的体积V。 根据题目给出的球面方程，可以确定曲面S为球面，半径为a。考虑球心位于原点，因此可以得到球体的体积公式：V = (4/3)πa^3 计算向外法向量n在每个点上的值。对于球面，由于球心位于原点，可以利用坐标轴来计算各点的法向量。根据球面方程x^2+y^2+z^2=a^2可得：n = (x, y, z)即向外法向量为各点的坐标向量。 计算向量场F在曲面S上的通量Φ。根据高斯公式，有：Φ = ∫∫S F · n dS把向量场F代入公式中，可得：Φ = ∫∫S [x(x^2+y^2+z^2)dydz + y^2dzdx + z^2dxdy]由于球面的方程为x^2+y^2+z^2=a^2，因此可以将该式子中的x^2+y^2+z^2替换为a^2，得到：Φ = ∫∫S [ax dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy] 将曲面S分解为小块，并对每一块进行计算。考虑使用球坐标系，将积分区域划分为许多小块。每个小块可以表示为：dS = r^2sinθ dθdφ其中r为球面到原点的距离，θ是极角，在[0,π]范围内变化，φ是方位角，在[0,2π]范围内变化。 在球坐标系下，向量场F的表达式为：F = (x^4+y^2z^2)i + x^2y^2j + x^2z^2k代入上式可得：Φ = ∫∫S [a(a^3sinθ)sinθdθdφ + (a^2sin^2θ(a^2sinθ)dφdρ + (a^2sinθ)(a^2sinθ)dθdρ] 对积分式进行化简并计算。化简后可得：Φ = ∫0^{2π} ∫0^π a^4sin^3θ dθdφ利用三重积分的计算公式可以得到：Φ = (4/3)πa^5。 因此，根据高斯公式，该向量场F在球面S上的通量为(4/3)πa^5。