Question

有4个互不相同的正整数,它们的和是20那么它们的乘积最大可能是

Answer 1

问：有4个互不相同的正整数,它们的和是20那么它们的乘积最大可能是

答：我们可以使用数学方法来解决这个问题。根据乘积中等值不等式，若将n拆分成若干个因数之和，则这些因数越接近，则它们的积越大。因此，当这4个正整数尽量接近时，它们的积最大，而又因为它们的和为20，所以它们的平均数为5。即：称其中一个正整数为a，则其他3个正整数的平均数为 (20-a)/3。根据算术平均数和几何平均数之间的关系，可知对于任意固定的a，这4个正整数的乘积是一个常数。因此要使它们的积最大，只需让这个常数最大，即让a和(20-a)/3尽量接近5。因此，我们可以将a取5，那么另外3个数的平均数也是5，即它们为5, 5, 5-a 。这4个正整数的乘积为：P = a × (5 - a) × 5 × (5 - a) = 25a(5 - a)²把a代入可以算得，这4个正整数的乘积最大可能是125，此时这4个正整数为5, 5, 5, 5。