利用曲线积分计算星形线 x=acos³t,y=asin³t所围图形的面积.
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面积是$\frac{3πa^{2}}{8}$。
由对称性，$S = 4\int_{0}^{a}ydx$
$= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} a{(sint)}^{3}d[a{(cost)}^{3}]$
$= 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(sint)}^{4}{(cost)}^{2}dt$
$= 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[(sint)^{4}－(sint)^{6}]dt$
$= 12a^{2}[{\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}}－{\frac{5}{6} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}}]$
$= \frac{3πa^{2}}{8}$。
面积是$\frac{3πa^{2}}{8}$。
由对称性，$S = 4\int_{0}^{a}ydx$
$= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} a{(sint)}^{3}d[a{(cost)}^{3}]$
$= 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(sint)}^{4}{(cost)}^{2}dt$
$= 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[(sint)^{4}－(sint)^{6}]dt$
$= 12a^{2}[{\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}}－{\frac{5}{6} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}}]$
$= \frac{3πa^{2}}{8}$。
咨询记录 · 回答于2024-01-02
利用曲线积分计算星形线 x=acos³t,y=asin³t所围图形的面积.
面积是\frac{3πa^2}{8}。
由对称性，S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4×1/2×π/2－5/6×3/4×1/2×π/2]
＝\frac{3πa^2}{8}。面积是\frac{3πa^2}{8}。
由对称性，S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4×1/2×π/2－5/6×3/4×1/2×π/2]
＝\frac{3πa^2}{8}。
谢谢您！
不客气
希望能帮到您
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