Question

f(z)=1/(z-3)(z-5)在圆环域3<|z|<5内展开为洛朗级数

Answer 1

问：f(z)=1/(z-3)(z-5)在圆环域3<|z|<5内展开为洛朗级数

答：在圆环域 3 < |z| < 5 内，函数 f(z)=1/(z-3)(z-5) 可以展开为洛朗级数，其中的级数是在圆心 0 处收敛的。首先，设洛朗级数的形式为：f(z) = a_0 + a_1z^(-1) + a_2z^(-2) + ...那么我们可以利用洛朗级数的级数公式来求出每一项的系数：a_n = (1/2πi) * ∫(f(z)/z^(n+1)) dz在这里，n 是从 0 开始的自然数。所以我们可以通过求出积分来得到洛朗级数的每一项系数。例如，对于洛朗级数的常数项 a_0，我们可以得到：a_0 = (1/2πi) * ∫(f(z)/z^(1)) dz= (1/2πi) * ∫(1/(z-3)(z-5)) dz注意到在 3 < |z| < 5 的圆环域内，函数 1/(z-3)(z-5) 在 0 处是收敛的。所以我们可以计算这个积分，并得到 a_0 的值。同样的方法，我们也可以求出洛朗级数的其他项系数。最终，我们就可以得到函数 f(z) 在圆环域 3 < |z| < 5 内的洛朗级数展开式：

答：f(z) = a_0 + a_1z^(-1) + a_2z^(-2) + ...