Question

已知函数+f(x)=a^x+cosx-sinx,f`(x)为+(x)的导函数.-|||-(1)证明:当+x0+时,+f

Answer 1

问：已知函数+f(x)=a^x+cosx-sinx,f`(x)为+(x)的导函数.-|||-(1)证明:当+x0+时,+f

问：第二问

问：我写到这，后面不知道怎么分类了

答：(1) 首先，求出函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = e^x - sinx - cosx当x≥0时，e^x≥1，sinx≤1，cosx≤1，因此有：f'(x) ≥ 1 - 1 - 1 = -1即f(x)在x≥0的区间上单调递增。又因为f(0) = e^0 + cos0 - sin0 = 2 > 0，因此当x≥0时，f(x)≥f(0) > 0。因此，当x≥0时，f(x)≥0。(2) 首先，求出函数g(x)的表达式：g(x) = e^2[f(x) + f(2x) - e^2]对g(x)求导数，有：g'(x) = 2e^2[f'(x) + 2f'(2x)]将f'(x)和f'(2x)代入，得：g'(x) = 2e^2[e^x - sinx - cosx + 2e^2(e^x - sin2x - cos2x)]化简得：g'(x) = 2e^(3x) - 2e^2sinx - 2e^2cosx - 4e^4sin2x - 4e^4cos2x当g'(x) = 0时，有：e^(3x) = e^2sinx + e^2cosx + 2e^4sin2x + 2e^4cos2x因为指数函数e^3x增长速度远快于三角函数和幂函数，所以左边的值增长得比右边的值要快，因此方程只有一个实根。因此，函数g(x)的零点个数为1。