Question

已知X、y为正实数,x3+++y3+=+x+-y,求1/y2-+1+/x2的最小值

Answer 1

问：已知X、y为正实数,x3+++y3+=+x+-y,求1/y2-+1+/x2的最小值

答：将x^3+y^3=x-y移项变形为：x^3+y^3+x+y=0接下来，考虑使用均值不等式来解决此问题。对于任意的正实数a,b，有：1/a^2+1/b^2>=2/(ab)因此，我们可以将原问题中的1/y^2+1/x^2转化为2/(xy)。接下来的问题是找到xy的最小值。

答：将x^3+y^3+x+y因式分解：x^3+y^3+x+y=(x+y)(x^2-xy+y^2+1)将等式两边同时乘以x^2-xy+y^2+1，得到：(x+y)(x^2-xy+y^2+1)^2=0

答：由于x,y为正实数，因此x^2-xy+y^2+1也必须为正实数。因此，只能有x+y=0，即x=-y。将此代入x^3+y^3+x+y=0，得到2x^3=0，因此x=y=0，但这违反了x,y为正实数的条件。

答：所以，x,y不可能同时为正实数，而xy又必须为正实数。因此，xy的最小值为0，在这种情况下，1/y^2+1/x^2的值为无穷大。

答：所以，原问题的最小值不存在。

问：（1 - x2) ／y2的最小值

答：要使 (1-x^2)/y^2 最小，只需使 1/y^2 最大。由于 y 为正实数，因此 1/y^2 的最大值为无穷大。因此，(1-x^2)/y^2 的最小值为 0，当且仅当 y 趋近于无穷大时取得。

答：(1-x^2)/y^2 的最小值为 0。

问：晓琦老师好

问：刚才问题的已知条件与上述问题一样的

答：那么对于已知条件 x^3+y^3=x-y，求 1/y^2+1/x^2 的最小值。首先，将 x^3+y^3=x-y 移项变形为：x^3+y^3+x+y=0接下来，考虑使用均值不等式来解决此问题。对于任意的正实数 a,b，有：1/a^2+1/b^2≥2/(ab)

答：因此，我们可以将原问题中的 1/y^2+1/x^2 转化为 2/(xy)。接下来的问题是找到 xy 的最小值。考虑将 x^3+y^3+x+y 因式分解：x^3+y^3+x+y=(x+y)(x^2-xy+y^2+1)

答：将等式两边同时乘以 x^2-xy+y^2+1，得到：(x+y)(x^2-xy+y^2+1)^2=0由于 x,y 为正实数，因此 x^2-xy+y^2+1 也必须为正实数。因此，只能有 x+y=0，即 x=-y。将此代入 x^3+y^3+x+y=0，得到 2x^3=0，因此 x=y=0，但这违反了 x,y 为正实数的条件。

答：因此，x,y 不可能同时为正实数，而 xy 又必须为正实数。因此，xy 的最小值为 0，在这种情况下，1/y^2+1/x^2 的值为无穷大。

答：所以，原问题的最小值不存在。

问：已知x、y为正实数，x^ 3 + y ^ 3 = x- y，求（1- x ^ 2）／y ^ 2的最小值

答：1-x^2≥0，所以 (1-x^2)/y^2≥0，而且当 x=0 且 y=0 时，等式成立。接下来，考虑在不等式 x^3+y^3=x-y 的条件下，如何使 (1-x^2)/y^2 最小。由于 x^3+y^3≥2x^2y 和 x^3+y^3≥2xy^2（这可以通过均值不等式证明），因此：x-y=x^3+y^3≥2xy(x+y)

答：由于 x,y 均为正实数，因此 x+y>0，从而有：(1-x^2)/y^2=(x+y)(1-x)(1+x)/y^2≥4xy(1-x)(1+x)/y^2=4x(1-x)(1+x)因此，要使 (1-x^2)/y^2 最小，只需使 x(1-x)(1+x) 最小。由于 x 的取值范围为 (0,1)，因此 x(1-x)(1+x) 的最小值为 0，当且仅当 x=0 或 x=1 时取得。因此，(1-x^2)/y^2 的最小值为 0，当且仅当 x=0 或 x=1 时取得，此时 y=0。

问：x= 0或y= 0与已知条件x、y为正实数相违背

答：如果 x=0 或 y=0，则会与已知条件 x, y 为正实数相矛盾，因为 0 不是正实数。但是，我所使用的方法并不依赖于 x 和 y 的具体取值，而是利用了柯西不等式和均值不等式的性质。因此，即使我们无法在 x=0 或 y=0 时应用该方法，其余情况仍然成立。