Question

4.求微分方程 y''+y'=x^2+e^(-x) 的一个特解

Answer 1

问：4.求微分方程 y''+y'=x^2+e^(-x) 的一个特解

答：你好亲，根据您描述的情况，我们可以使用特殊函数法求解这个微分方程的一个特解。特殊函数法的基本思路是假设特解具有某种特定的形式，然后通过求导和代入原方程来确定系数。对于这个微分方程，我们可以假设特解具有形式：y_p(x) = Ax^3 + Be^(-x)其中A和B是待定系数。现在，我们对y_p(x)求导并代入原方程，有：y_p'(x) = 3Ax^2 - Be^(-x)y_p''(x) = 6Ax + Be^(-x)将y_p(x)、y_p'(x)和y_p''(x)代入原方程，有：y_p''(x) + y_p'(x) = 6Ax + Be^(-x) + 3Ax^2 - Be^(-x) = 3Ax^2 + 6Ax我们发现，当A=1/6时，y_p''(x) + y_p'(x) = 3Ax^2 + 6Ax = x^2 + e^(-x)因此，特解为：y_p(x) = (1/6)x^3 + Be^(-x)其中B是待定常数。我们可以通过代入初始条件或者其他信息来确定B的值。