Question

数学高数题

Answer 1

问：数学高数题

问：第二题

问：P（Z）为复系数n次多项式它的所有复根Zi満足落在复平面的单位圆上， 证明：对于多项式2ZP'(Z) - n P(Z) :它的所有根也在同一圆上。

答：根据群的定义，我们需要满足以下三个条件：封闭性：对于任意的a,b∈G，有a·b∈G。结合律：对于任意的a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)。单位元和逆元存在：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a，同时对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。根据题目中给出的条件G=(A·B)^{12A+5B=0}_{24A+16B=0}，我们可以得到：A=-5/12BA=-2B将以上两个式子联立可得B=0，A=0，因此该群中只有一个单位元素，即G={e}。所以该群G的阶为1。由于该群只包含一个单位元素，因此它的群结构为：G={e}。

答：设复多项式$P(z)$的$n$个复根为$z_1, z_2, \ldots, z_n$，满足它们落在复平面的单位圆上，即$|z_k|=1$，$k=1,2,\ldots,n$。考虑复多项式$2zP'(z)-nP(z)$的根$w_1,w_2,\ldots,w_m$，其中$m$为多项式的次数。假设其中有一个根$w_k$不在复平面的单位圆上，即$|w_k|>1$或$|w_k|<1$。由于$P(z)$的所有根都落在复平面的单位圆上，我们可以得到：1zk−wk=1n⋅P(zk)zkz k​ −w k​ 1​ = n1​ ⋅ z k​ P(z k​ )​ 因此，2zkP′(zk)nP(zk)−wk=2zkP′(zk)nP(zk)−1n⋅P(zk)zk(wk−zk)≠0nP(z k​ )2z k​ P ′ (z k​ )​ −w k​ = n

答：式$P(z)$的所有复根$z_1,z_2,\ldots,z_n$落在复平面的单位圆上，则多项式$2zP'(z)-nP(z)$的所有复根$w_1,w_2,\ldots,w_m$也必须落在复平面的单位圆上。