设函数f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（1）=4f（2），证明：存在ξ∈（1，2），使得2f（ξ）+5f’（ξ）=0。
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亲爱的用户，您好！
根据您的要求，我们查询到了以下信息：
设函数$f(x)$在区间$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导，且$f(1)=4f(2)$。我们需要证明存在$\xi \in (1,2)$，使得$2f(\xi)+5f'(\xi)=0$。
首先，我们令$F(x)=f(x)\ln x$。由于$f(x)$和$\ln x$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导，因此$F(x)$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导。
接下来，我们利用拉格朗日中值定理，可以找到至少一个点$\xi \in (1,2)$，使得：
$F(2)-F(1)=F'(\xi)(2-1)=F'(\xi)$（标记为*）
此外，由于$F'(x)=f'(x)\ln x+f(x)\cdot \frac{1}{x}$，且$f(2)=0$，我们可以得到：
$F'(\xi)=f'(\xi)\ln \xi+f(\xi)\cdot \frac{1}{\xi}$
以及$F(2)=F(1)=0$。
根据（*）式，我们有：
$f'(\xi)\ln \xi+f(\xi) \cdot \frac{1}{\xi}=0$
即：$\xi f'(\xi)\ln \xi+f(\xi)=0$
因此，至少存在一个点$\xi \in (1,2)$，使得$\xi f'(\xi)\ln \xi+f(\xi)=0$。
咨询记录 · 回答于2024-01-16
设函数f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（1）=4f（2），证明：存在ξ∈（1，2），使得2f（ξ）+5f’（ξ）=0。
好的
好的 亲亲
亲亲，您好：
设函数f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（1）=4f（2），证明：存在ξ∈（1，2），使得2f（ξ）+5f’（ξ）=0。
令F（x）=f（x）lnx．因为f（x）、lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，故F（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导．
对F（x）利用拉格朗日中值定理可得，至少存在一点ξ∈（1，2），使得：F（2）-F（1）=F′（ξ）（2-1）=F′（ξ）．（*）
又因为F′(x)＝f′(x)lnx+f(x)•1x，f（2）=0，所以F′(ξ)＝f′(ξ)lnξ+f(ξ)•1ξ，F（2）=F（1）=0，从而，由（*）式可得：f′(ξ)lnξ+f(ξ)•1ξ＝0，即：ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0
所以，至少存在一点ξ∈（1，2），使得 ξf'（ξ）lnξ+f（ξ）=0．
亲亲，您好 由于系统权限 接收不到图文及语音消息 请您文字描述哦
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