Question

高等代数：为什么n元数组所组成的空间是n维的

Answer 1

问：高等代数：为什么n元数组所组成的空间是n维的

答：数域K上所有n元有序数组组成的集合（记作 K^n ），连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算，及其满足的加法交换律，结合律等8条运算法则一起，称为数域K上的n维向量空间（也记作 K^n ），并把 K^n 中的元素称为一个n维向量

问：从线性无关的角度解释

答：这是一个数学中的定义，用于描述线性空间（或向量空间）的维度。线性空间是指一个集合，其中的元素（称为向量）满足一定的运算规则，例如向量的加法和数乘。根据定义，如果线性空间V中存在n个线性无关的向量，但没有更多的线性无关向量，那么我们称这个空间V为n维的。这意味着，任意一个向量都可以由这n个向量线性组合而成。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的，意味着V中存在无穷多的线性无关向量，没有任何一个向量可以由其他向量线性组合而成。

答：例如，我们可以考虑一个三维向量空间V，它包含所有三个实数（x,y,z）的集合。如果我们选择三个线性无关的向量，例如（1,0,0）、（0,1,0）和（0,0,1），那么这个空间就是三维的。这意味着，任何一个三维向量都可以由这三个向量的线性组合表示出来。另一方面，如果我们考虑所有的多项式函数，它们构成了一个无限维的线性空间。我们可以找到无数个线性无关的多项式函数，例如1、x、x^2、x^3等等。这些函数构成了一个无限维的空间，其中每个多项式函数都可以由这些基本函数的线性组合表示出来。

问：怎么知道n元数组的线性无关向量是n个

问：怎么算的

答：对于一个n元数组，如果它的n个向量线性无关，则这n个向量就是这个n元数组的线性无关向量。

答：为了判断n个向量是否线性无关，我们可以将这n个向量构成一个n×n的矩阵，然后对这个矩阵进行行列式的计算，如果行列式的值不为0，则这n个向量线性无关，否则它们线性相关。具体来说，如果行列式的值为0，则说明这n个向量可以表示为其中某些向量的线性组合，也就是说它们不是线性无关的。

答：举个例子，对于三个向量a = (1, 2, 3)b = (4, 5, 6)c = (7, 8, 9)我们可以将它们构成一个3×3的矩阵| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |然后计算这个矩阵的行列式，即

答：| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 | = 0

答：由于行列式的值为0，因此这三个向量是线性相关的，不能作为一个3维线性空间的线性无关向量。

答：如果在矩阵化简的过程中出现全0行或者全0列，那么可以去掉这一行或者这一列再进行计算。同时，也可以通过高斯消元或者其他方法判断向量是否线性无关。

问：那把n元数组看成矩阵，万一行列式为零，不是就线性相关了，那怎么还说是n维的呢

答：行列式为零说明这个矩阵不可逆，即存在一些向量线性相关。但是，如果这个矩阵中仍然存在n个线性无关的向量，那么这些向量仍然可以作为一个n维线性空间的一组基，因为它们可以张成整个空间，而且不存在其他的线性无关向量。因此，这个线性空间仍然是n维的。如果这个矩阵中只存在k(k

问：n元数组就是n个n维向量吗

答：不完全正确。n元数组通常指的是一个由n个实数（或复数）组成的序列，而n维向量是指一个有n个元素的向量。虽然两者都是由n个数值组成，但它们在数学上有不同的定义和应用。在线性代数中，n元数组可以用来表示矩阵，而n维向量则通常用来表示向量空间中的向量。两者的应用范畴和定义略有不同，需要根据具体情况加以区分。