Question

证明：级数(Un-Un+1)收敛的充分必要条件是｛Un｝收敛

Answer 1

问：证明：级数(Un-Un+1)收敛的充分必要条件是｛Un｝收敛

答：级数(Un-Un+1)收敛的充分必要条件是｛Un｝收敛。这个结论是正确的哦。要证明级数(Un-Un+1)收敛的充分必要条件是｛Un｝收敛，我们需要进行双向的证明。首先假设级数(Un-Un+1)收敛，我们需要证明｛Un｝收敛。由级数的收敛性可知，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|Un-Un+1|<ε成立。考虑到级数的部分和Sn=U1-U2+U2-U3+...+Un-Un+1，我们可以将其拆分为两个部分和Sn1=U1-U2+U2-U3+...+Un和Sn2=-(Un+1)，即Sn=Sn1+Sn2。由于级数(Un-Un+1)收敛，所以Sn=Sn1+Sn2收敛。进一步推导可知，Sn1=U1-U2+U2-U3+...+Un也收敛，而Sn2=-(Un+1)是一个常数列，显然也收敛。于是，根据级数的性质可知，｛Un｝收敛哦。

答：接下来假设｛Un｝收敛，我们需要证明级数(Un-Un+1)收敛。假设｛Un｝收敛于L，即lim(n→∞)Un=L。我们可以将级数(Un-Un+1)拆分为两个部分和S1=U1-U2+U2-U3+...和S2=-Un+1，即S=S1+S2。由于｛Un｝收敛于L，所以对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，使得当n>N1时，有|Un-L|2成立。则对于S1=U1-U2+U2-U3+...，我们可以找到正整数N2，使得当n>N2时，有|Un-Un+1|2成立。取N=max(N1,N2)，则当n>N时，有|Un-L|<ε/2和|Un-Un+1|2同一时候成立。根据三角不等式可知，|S-S1-L|≤|S1-L|+|S2-0|=|S1-L|。于是，当n>N时，有|S-(L+0)|=|S-(S1+S2)|=|S-S1-L|≤|S1-L|<ε。即级数(Un-Un+1)收敛。所以，级数(Un-Un+1)收敛的充分必要条件是｛Un｝收敛哦。

问：那｛Un｝收敛于s，(Un-Un+1)收敛于？

答：亲，根据给出的信息，我们知道数列{Un}收敛于s，而差分数列(Un-Un+1)则是原数列{Un}相邻两项的差值。根据差分数列的性质，差分数列的极限等于原数列的极限的差。所以(Un-Un+1)的极限也就是s-s=0哦。

问：那｛Un｝收敛于s，(Un＋Un+1)收敛于2s？

答：亲，是的哦。

问：那网上写的答案是2s-U1

答：亲，不是的哦收敛于2s是正确的哦

问：哦(￣∀￣)好的，网上写的的不对是吧

答：亲，是的哦