Question

已知单边拉普拉斯变换，如何求其原函数？

Answer 1

问：已知单边拉普拉斯变换，如何求其原函数？

答：亲亲您好，要求单边拉普拉斯变换的原函数，可以先根据单边拉普拉斯变换的定义式将其转化为 Laplace 变换形式，然后使用 Laplace 变换的反演公式求出原函数。具体地，假设单边拉普拉斯变换的形式为：$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt$其中 $f(t)$ 是原函数，$s$ 是变量。则根据单边拉普拉斯变换的定义式，可以将它转化为 Laplace 变换形式：$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)u(t)\}$其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。然后根据 Laplace 变换的反演公式，可以求出原函数：$f(t)u(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T\rightarrow \infty} \int_{\sigma - iT}^{\sigma + iT} F(s) e^{st} ds$其中 $T$ 是积分路径上的参数，$\sigma$ 是一条垂直于虚轴的直线上的实数。最后去掉单位阶跃函数即可得到原函数：$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T\rightarrow \infty} \int_{\sigma - iT}^{\sigma + iT} F(s) e^{st} ds$

问：已知f(t)的傅立叶变换F(jw)=2/(jw+3)，则原函数f(t)等于多少

答：亲亲您好，根据傅立叶变换的反演公式，可以得到:f(t) = (1/2π) * ∫F(jw) * e^(jwt) dw对F(jw)做部分分式分解，可以得到:F(jw) = 2/(jw+3) = -2/(3-jw) = -2/3 * [1/(jw-3/2) - 1/(jw+3/2)]因此，f(t) = (1/2π) * ∫[-2/3 * (1/(jw-3/2) - 1/(jw+3/2))] * e^(jwt) dw= (-1/π) * [e^(3/2t) - e^(-3/2t)]因此，原函数f(t)等于 (-1/π) * [e^(3/2t) - e^(-3/2t)]希望这个解答对您有所帮助哦

问：已知f(t)的单边拉氏变换F(s)=2s/(s+1)，则函数y(t)=e^(-2t)f(3t)的单边拉氏变换Y(s)为多少

答：亲亲您好，首先，由定义可得：y(t) = e^(-2t)f(3t)对y(t)进行单边拉氏变换，得到：Y(s) = L{y(t)} = L{e^(-2t)f(3t)} = F(s/3+2) （使用推导公式 L{e^at*f(bt)}= F(s-b)/a ）所以，将F(s)带入得到：Y(s) = F(s/3+2) = 2(s/3+2)/(s/3+2+1) = 2s/(s+9)因此，函数y(t)的单边拉氏变换为Y(s) = 2s/(s+9)。