Question

3.计算二重积分 _D^2(xy^2d ,其中D分别为:1) x^2+y^2R^2 , (y0)2 x^2+y^2R^2

Answer 1

问：3.计算二重积分 _D^2(xy^2d ,其中D分别为:1) x^2+y^2R^2 , (y0) 2 x^2+y^2R^2

答：您好，亲。首先，根据二重积分的定义，我们可以将其转化为累次积分的形式，即： ∫y=0^R ∫-√(R^2-y^2)^(√(R^2-y^2)) xy^2 dxdy 对于内层积分，我们可以先对x进行积分，得到： ∫-√(R^2-y^2)^(√(R^2-y^2)) xy^2 dx = 1/2 x^2y^2 | -√(R^2-y^2)^(√(R^2-y^2)) + √(R^2-y^2) 代入上式，我们得到： ∫y=0^R xy^2 dA = 1/2 ∫y=0^R y^2(R^2-y^2) dy

答：接下来，对于外层积分，可以使用换元法，令 $u = R^2 - y^2$，那么 $dy = -\frac{1}{2}du$。上限 $y=R$ 对应 $u=0$，下限 $y=y_0$ 对应 $u=R^2-y_0^2$。代入上式，得到 $\int_D x y^2 dA = \frac{1}{2} \int_{R^2-y_0^2}^0 (R^2-u) u^{\frac{1}{2}} du$ 对于这个积分，可以使用恒等式 $R^2-u = (R+\sqrt{u})(R-\sqrt{u})$，将其代入上式，得到 $\int_D x y^2 dA = \frac{1}{2} \int_{R^2-y_0^2}^0 [(R+\sqrt{u})(R-\sqrt{u})] u^{\frac{1}{2}} du$ 对于这个积分，可以使用分部积分法，令 $f = u^{\frac{3}{2}}$，$g' = (R+\sqrt{u})(R-\sqrt{u})$，那么 $f' = \frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}$，$g = \frac{1}{2}(2R^2-u)$。代入上式，得到 $\int_D x y^2 dA = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}(2R^2-u) u^{\frac{3}{2}} |_{R^2-y_0^2}^0 - \int_{R^2-y_0^2}^0 \frac{1}{2}(2R^2-u) \frac{3}{2} (2\sqrt{u}) du]$ 化简上式，得到 $\int_D x y^2 dA = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} R^2 (R^2-y_0^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (R^2-y_0^2)^{\frac{5}{2}}]$ 综上所述，二重积分 $\int_D^2 (xy^2 dA = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} R^2 (R^2-y_0^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (R^2-y_0^2)^{\frac{5}{2}}]$。