Question

2.求函数y=sin3/x的最小值,以及取得最小值时x的集合.

Answer 1

问：2.求函数y=sin3/x的最小值,以及取得最小值时x的集合.

问：？

答：首先，我们有函数 y = sin(3/x)，它的定义域为 x ≠ 0。由于正弦函数的值域为 [-1, 1]，因此：-1 ≤ sin(3/x) ≤ 1等价于：-1 ≤ y ≤ 1为了寻找 y 的最小值，我们需要求出其导数 y'：y' = -3/(x²) * cos(3/x)然后，我们需要找到 y' 的所有零点。由于 cos(3/x) 的周期为 2π/3，因此 y' 的所有零点可以表示为：3/x = (2n+1)π/2，其中 n∈Z解出 x，得到：x = 3/[(2n+1)π/2]，其中 n∈Z由于 x ≠ 0，因此 n 不能等于 0。而当 n 为奇数时，y' 的符号为负；当 n 为偶数时，y' 的符号为正。因此，在每个相邻的两个零点之间，y 的增减性是不同的。因此，y 的最小值只可能出现在这些零点中。

答：首先，当 n=0 时，x 的取值为 3/π，此时 y 取得一个极小值。其它的零点中，我们只需要考虑第一个周期内的即可。这些零点可以表示为：xₖ = 3/[(2k+1)π/2]，其中 k∈Z⁺可以发现，当 k 为奇数时，y(xₖ) 为负数，y'(xₖ) 为正数，y 在 xₖ 处取得极小值；当 k 为偶数时，y(xₖ) 为正数，y'(xₖ) 为负数，y 在 xₖ 处取得极大值。因此，y 的最小值为 -1，当 x=3/π 时取得。

答：函数 y = sin(3/x) 的最小值为 -1，当 x=3/π 时取得最小值。此外，根据前面的推导，可以得到 y 的最小值只可能在以下两类点上取到：x = 3/πx = 3/[(2k+1)π/2]，其中 k∈Z⁺ 且 k 为奇数因此，取得最小值时 x 的集合为：{3/π} ∪ {3/[(2k+1)π/2] | k∈Z⁺, k 为奇数}