Question

区间-1π/2到1π/2的f(sinx)的积分为啥等于区间0到π/2的f(sin)的积分

Answer 1

问：区间-1π/2到1π/2的f(sinx)的积分为啥等于区间0到π/2的f(sin)的积分

问：说错了是等于二倍的区间0到π/2的f(sin)的积分

答：同学您好，是的，是等于二倍的区间0到π/2的f(sin)的积分。

答：因为sin函数是一个奇函数，因此可以将区间-1π/2到1π/2分为两个区间：区间-1π/2到0和区间0到1π/2。对于区间-1π/2到0上的积分，替换s=-x，则有：∫{-1π/2}^{0} f(sin(x)) dx = -∫{π/2}^{0} f(sin(-s))ds = ∫{0}^{π/2} f(sin(s)) ds而对于区间0到π/2上的积分，则直接有：∫{0}^{π/2} f(sin(x)) dx将两者相加得到：∫{-1π/2}^{1π/2} f(sin(x)) dx = 2∫{0}^{π/2} f(sin(x)) dx因此，区间-1π/2到1π/2的f(sinx)的积分等于区间0到π/2的f(sin)的积分的2倍。

答：从图像上可以理解为，定积分就是求该函数图像的与x轴围成的面积。因为sin函数的图像围绕原点对称，所以在区间（-π/2，0）与（0，π/2）上的图像的面积是相等的。

答：所以等于二倍的区间0到π/2的f(sin)的积分。

问：-∫{π/2}^{0} f(sin(-s))ds = ∫{0}^{π/2} f(sin(s)) ds中外面的符号是为了改变上下限 fsin(-s)里面的符号是怎么消除的

问：负号

答：在题目中的积分式子中，由于上下限的变化导致被积函数f(sin(-s))中的s取值发生变化，因此需要将积分的符号取反，以保证计算结果的正确性。而函数f(sin(-s))中的负号则是由于sin函数的奇偶性质所决定的，我们可以将其转化为f(sin(x))中的表达式，并避免对计算结果产生影响。

问：ds不应该和fsin(-s)保持一致么 转换成关于x的表达式那不就是ds转换成d(-x）了么

答：当进行变量替换时，我们需要确保积分变量和被积函数中的变量保持一致。在这种情况下，我们使用了变量替换 s = -x。因此，当 x 从 π/2 变化到 0 时，s 从 -π/2 变化到 0。此时，我们应该将被积函数中的 sin(x) 转换为 sin(s) 而不是 sin(-s)。所以，我们有：-∫[π/2, 0] f(sin(-s)) ds = ∫[0, π/2] f(sin(s)) ds