Question

爪型行列式计算公式

Answer 1

问：爪型行列式计算公式

答：所谓爪型行列式，指的是一类看起来像爪子一样的行列式。一般指除了第一行和第一列以及对角线之外，其它元素都是0的行列式。这类行列式应该怎么求它的值呢？接下来我们由一些特殊的例子入手，来分析它的解法。

答：最典型的爪型行列式，是对角线上的元素相同，除了第一个元素之外，第一行和第一列的其它元素也都相同的形式，比如n阶行列式：D=|x,a,a,…a; a,x,0,…,0; a,0,x,…,0；…, …, …, …；a,0,0,…,x|，x不等于0，元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔，下同。首先，将其它列都乘以-a/x，并全部加到第1列，就得到：D=|x-(n-1)a^2/x,a,a,…a; 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,x|.这是一个上三角行列式，它的值等于对角线上所有元素的积，因此，D=x^(n-1) (x-(n-1)a^2/x)=x^n-(n-1)a^2x^(n-2).假如第一行除了第一个元素之外其它元素都是b，则结果为：D=x^n-(n-1)abx^(n-2). 由此我们可以知道，对于一般的n阶爪型行列式：D=|x1,b1,b2,…b_(n-1); a1,x2,0,…,0; a2,0,x3,…,0；…, …, …, …；a_(n-1),0,0,…,xn|，其中xj不等于0，j=1,2,…,n. 它的解