Question

x^3-7x^2+8-|||-分解因式

Answer 1

问：x^3-7x^2+8-|||-分解因式

答：要分解因式$x^3-7x^2+8$，首先我们观察到8=2*2*2=2^3，所以可以尝试使用因式定理。因式定理指出，如果一个多项式$P(x)$有一个因子$x-a$，那么$P(a)=0$。我们可以根据这个定理来寻找可能的因子。 我们可以尝试$x=1$，计算$P(1)$是否为0： $P(1)=(1)^3-7(1)^2+8=1-7+8=0$ 所以$x-1$是$P(x)$的一个因子。 接下来，我们可以使用长除法来除以因子$x-1$，得到商和余数： $\begin{aligned} & x^3 - 7x^2 + 8 \\ &\div x - 1 \\ & \quad \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- ---} \\ & x^2 - 6x + 8 & \text{商} \\ & \quad \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- ---} \\ & 2x + 8 & \text{余数} \end{aligned}$ 现在，我们可以将原始多项式分解为$(x-1)(x^2-6x+8)$。进一步分解$x^2-6x+8$需要找到它的因子。 我们可以尝试因子1，计算$(1)^2-6(1)+8$是否为0： $(1)^2-6(1)+8=1-6+8=3$ 由于不等于0，所以1不是$x^2-6x+8$的因子。 我们可以尝试因子2，计算$(2)^2-6(2)+8$是否为0： $(2)^2-6(2)+8=4-12+8=0$ 所以$x-2$也是$x^2-6x+8$的一个因子。 我们继续使用因式定理和长除法来除以因子$x-2$: $\begin{aligned} & x^2 - 6x + 8 \\ &\div x - 2 \\ & \quad \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- ---} \\ & x - 4 & \text{商} \\ & \quad \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- ---} \\ & -4x + 8 & \text{余数} \end{aligned}$ 最终，我们得到$x^3-7x^2+8$的因式分解为$(x-1)(x-2)(x-4)$。