Question

高数题目：求抛物面z=x^2+y^2到平面x+y+z+1=0的最近距离

Answer 1

问：高数题目：求抛物面z=x^2+y^2到平面x+y+z+1=0的最近距离

答：设抛物面上最近点P（x0,y0,z0),距离为d,根据空间点面距离公式，d=|x0+y0+z0+1|/√3，z0=x0^2+y0^2,代入上述关系式，d=|(x0+y0+x0^2+y0^2+1)|√3=|（x0^2+x0+1/4)+(y0^2+y0+1/4)|/√3+√3/3（-1/4-1/4+1）=（√3/3）（x0+1/2)^2+（√3/3(y0+1/2)^2+√3/6，当x=-1/2,y=-1/2时，有最小值，为√3/6，z=(-1/2)^2+(-1/2)^2=1/2,∴P（-1/2，-1/2,1/2).在抛物面上距平面x+y+z+1=0的最近的点为P（-1/2，-1/2,1/2，距离√3/6。