Question

大一微积分题目，求高手解答，求具体过程! 设f（x）在R上连续，对任意的x∈R都满足f（2x）=f

Answer 1

问：大一微积分题目，求高手解答，求具体过程! 设f（x）在R上连续，对任意的x∈R都满足f（2x）=f（x），求证：f(x)是常数

答：因为f(x)=f(2x),2x>x，所以x→㏄时，f(x)是有限的，即存在常数值因为f（x)在x=0处连续,所以f(x)在x=0处存在极限,设f(x)在x=0处的极限为a（a为常数）.那么f(x)=f(2x),得到f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...=f(x/(2^n)).当n趋向无穷大时,有x/(2^n)趋向0,即f(x/(2^n))=a;也就是说f(x)=a,即f(x)是常值函数.得证.

答：这道证明题的关键在于先将证明f(x)是常数函数转变为证明f(x)有限f(x)=f(2x)，该规律传递到无穷仍成立，即当x→㏄时，f(x)是有限的那么我们只需证明x→0时是有限的即可因为f(x)在R上连续 那么在f(0)必定是个固定值在利用递推限，f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...=f(x/(2^n)).当n趋向无穷大时,有x/(2^n)趋向0,即f(x/(2^n))=a;也就是说f(x)=a,从而证明f(x为常值函数)