Question

常系数齐次线性微分方程的特解

Answer 1

常系数齐次线性微分方程的特解是指当方程的非齐次项为一定函数时。
常数变易法是求解常系数齐次线性微分方程特解的一种较为通用的方法。
1、假设特解为y=Ae^λx（λ为待定系数）。
2、将特解代入原方程，得到：
（aλ^2+bλ+c）Ae^λx=f（x）
3、比较等式两边同底数e^λx的系数，得到特征方程：aλ^2+bλ+c=0。
4、解特征方程，求出λ的值。
5、根据λ的值，代回y=Ae^λx，得到特解。
例如，对于方程y''-3y'+2y=2x+4，我们有a=1，b=-3，c=2，f（x）=2x+4，特征方程为λ^2-3λ+2=0，解的λ1=1，λ2=2。因此，特解为y=Ae^x+Be^2x，其中A，B为待定系数。
待定系数法：
1、对于f（x）的形式进行分类，确定待定函数的形式。
2、确定待定系数，将待定函数代入原方程求解。
3、通过比较系数得到待定系数的值。
例如，对于方程y''-3y'+2y=2x+4，我们可以设特解为y=Ax+B，将其代入原方程得到2A=2，即A=1，且B=2，因此特解为y=x+2。