Question

设 f(x)在[a, b ]上连续，在（a, b）内可导，其中a ＞0, f(a) = 0,证明在（a, b）内至少存在一点§，使f( § ) = (b －§ )f( §) ／a

Answer 1

问：设 f(x)在[a, b ]上连续，在（a, b）内可导，其中a ＞0, f(a) = 0,证明在（a, b）内至少存在一点§，使f( § ) = (b －§ )f( §) ／a

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦由于f(x)在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且f(a) = 0，因此根据拉格朗日中值定理，在（a, b）内至少存在一点§，使f(§) = (b - §)f(§) / a。

问：拉格朗日不是f(b) －f(a) = f ＇（§ ）（b －a）吗，怎么变成f( § ) =.. 了呢

答：亲你第一次发给我的就是f( § ) =..

答：老师这边是手机看不到图片

问：这个是要证明f(§ ) = (b －§ ）f ＇（§ ）／a

答：亲你把题目在发给我老师在帮您做

答：老师这边是手机麻烦您打字

问：设 f(x)在[a, b ]上连续，在（a, b）内可导，其中a ＞0, f(a) = 0,证明在（a, b）内至少存在一点§，使f( § ) = (b －§ )f ＇( §) ／a

答：证明：由于f(x)在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且f(a) = 0，根据函数的单调性，若f(x)在（a, b）内有极值点，则必有f(x)在（a, b）内有极小值点。设g(x) = (b －x )f ＇(x) ／a，则g(x)在（a, b）内可导，且g(a) = 0，根据函数的单调性，若g(x)在（a, b）内有极值点，则必有g(x)在（a, b）内有极大值点。设h(x) = f(x) － g(x)，则h(x)在（a, b）内可导，且h(a) = 0，根据函数的单调性，若h(x)在（a, b）内有极值点，则必有h(x)在（a, b）内有极小值点。由于f(x)，g(x)，h(x)在（a, b）内可导，且h(a) = 0，根据拉格朗日中值定理，设§为h(x)在（a, b）内的极小值点，则有f( § ) = g( § )，即f( § ) = (b －§ )f ＇( §) ／a。即证明在（a, b）内至少存在一点§，使f( § ) = (b －§ )f ＇( §) ／a。

问：这是我高数老师写的答案能讲一下吗？F(x) = （X －b）的a次方f(X),在［a, b ］内可导，连续，且F(a) = F(b) = 0,则彐§ E(a, b),使F ＇（§ ）= O即得f( § ) = b －§ f ＇（§ ）／a

答：根据已知条件，当F(x) = （X －b）的a次方f(X)在［a, b ］内可导，连续，且F(a) = F(b) = 0时，由反证法可以得出，在（a, b）内必存在点§，使F ＇（§ ）= O，即f( § ) = b －§ f ＇（§ ）／a。