Question

如果A是一个nxn的实数矩阵,D是一个nxn的对角矩阵,有一个正交矩阵Q,使得Q^T*A-D*Q^T=R为一上三角矩阵

Answer 1

问：如果A是一个nxn的实数矩阵,D是一个nxn的对角矩阵,有一个正交矩阵Q,使得Q^T*A-D*Q^T=R为一上三角矩阵

答：亲，您好，很高兴回答您的问题，根据问题描述，我们需要找到一个正交矩阵Q，使得Q^TA-DQ^T=R，其中R是一个上三角矩阵。首先，我们知道一个n维实数矩阵A可以分解为A=QRQ^T，其中Q是一个n维正交矩阵，R是一个上三角矩阵。这个分解被称为QR分解或正交三角分解。我们可以使用QR分解来解决这个问题。将A分解为A=Q1R1Q1^T，其中Q1是一个n维正交矩阵，R1是一个上三角矩阵。将D表示为一个对角矩阵，即D=diag(d1,d2,...,dn)，其中di表示D的第i个对角元素。

答：然后我们将Q1^T乘以A减去D乘以Q1^T，即：Q1^TA-DQ1^T = Q1^TQ1R1Q1^T-Q1^TDQ1^T = R1Q1^T-D*Q1^T接下来我们需要找到一个正交矩阵Q2，使得R1Q1^T-DQ1^T = Q2R2Q2^T，其中R2是一个上三角矩阵。为此，我们可以再次使用QR分解来分解R1Q1^T-DQ1^T。将其表示为：R1Q1^T-DQ1^T = Q2R2Q2^T最终，我们可以通过将Q=Q1Q2，R=R2，D=diag(d1,d2,...,dn)来得到Q^TA-D*Q^T=R，其中Q是一个n维正交矩阵，R是一个上三角矩阵。