Question

正态分布定义

Answer 1

正态分布，也称作高斯分布（Gaussian distribution），是最常见的一种概率分布。正态分布在自然界和社会科学等领域具有广泛的应用。
一个随机变量X服从正态分布，当且仅当其概率密度函数（probability density function，pdf）可以写成以下的形式：
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
其中，$x$ 表示随机变量的取值，$\mu$ 表示均值，$\sigma$ 表示标准差。正态分布的特点是其分布呈钟形曲线，对称于均值 $\mu$，标准差 $\sigma$ 越大，曲线越扁平，分布越分散。
正态分布的主要特征包括：
- 均值 $\mu$：正态分布的均值表示数据的中心位置。
- 标准差 $\sigma$：正态分布的标准差表示数据离散程度的大小。
- 正态分布的曲线呈钟形，对称于均值 $\mu$。
- 正态分布的概率密度函数在 $\mu$ 处取得最大值，即正态分布的峰值为 $f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$。
- 标准正态分布：当 $\mu=0$、$\sigma=1$ 时，就得到了标准正态分布，记为 $Z \sim N(0,1)$。标准正态分布在概率统计中有很重要的应用。
- 中心极限定理：任意总体在样本量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
正态分布是统计学中非常重要的一种分布，适用范围非常广泛，例如在财务、经济、医学等领域的数据分析、模型拟合等中都有应用。