Question

设f(x)=(x^2-1)^n,则f^(n+1)(-1)用泰勒展开式怎么做

Answer 1

问：设f(x)=(x^2-1)^n,则f^(n+1)(-1)用泰勒展开式怎么做

答：f^(n+1)(-1) 的泰勒展开式为：f^(n+1)(x) = 1 / (n+1) * (x+1)^n要求函数f的(n+1)阶导数在x=-1处的泰勒展开式，我们可以使用二项式定理对函数f展开。根据二项式定理：(1+x)^m = C(m,0)x^0 + C(m,1)x^1 + C(m,2)x^2 + … + C(m,m)x^m其中C(m,k)表示组合数，即从m个元素中选择k个的组合数。对于函数f(x)=(x^2-1)^n，我们可以把它转换成 (1+(x^2-2))^n 的形式，这样就可以使用二项式定理进行展开。将 m=n，x=x^2-2 代入二项式定理：f(x) = (1+x)^n = C(n,0)(x^2-2)^0 + C(n,1)(x^2-2)^1 + C(n,2)(x^2-2)^2 + … + C(n,n)(x^2-2)^n要求(n+1)阶导数，在展开式中，只有当指数为n+1的项存在时，才能够产生(n+1)阶导数的非零项，其余项的导数都为零。考虑到 f(-1) = (-1^2-1)^n = 0，所以我们只需要找到 (1+x)^n 的展开式中，指数为n+1的项的系数。根据二项式定理，C(n,k) 的值可以计算为 C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)。所以在 (1+x)^n 的展开式中，指数为n+1的项的系数为：C(n,n+1) = n! / ((n+1)! * (n-n-1)!)= 1 / ((n+1) * (n-n-1)!)= 1 / (n+1)f^(n+1)(-1) 的泰勒展开式中，指数为n+1的项的系数为 1 / (n+1)。其余项的系数都为零。所以f^(n+1)(-1) 的泰勒展开式为：f^(n+1)(x) = 1 / (n+1) * (x+1)^n希望这样的解答对您有帮助！如果还有其他问题，请随时提问。