Question

在定积分旋转问题中表面积怎么求

Answer 1

问：在定积分旋转问题中表面积怎么求

问：在定积分旋转体中表面积和侧面积相等么

答：在定积分旋转问题中,表面积的求法如下:1. 首先要明确定积分体的表面积包括侧面积和顶面积两部分。侧面积是定积分体旋转过程中侧面(侧壁)围成的 lateral surface area。顶面积是定积分体两端的顶面积,是上底面积和下底面积之和。2. 求侧面积时,需要确定旋转轴心到定积分体侧面距离的函数表达式f(x)。然后计算侧面积的面元,它是 f(x)dx × 2πr,其中r为定积分体半径。最后,将面元在定积分体全长上积分,得到侧面积的表达式:S侧面 = ∫ f(x) dx × 2πr3. 求顶面积时,直接将上底面积A上和下底面积A下加总,有:S顶面 = A上 + A下4. 将侧面积和顶面积加总,得到定积分体的总表面积:S总表面积 = S侧面 + S顶面5. 算例:已知y=x2,0≤x≤3为定积分体侧面方程。求该定积分体在x轴上旋转一周得到的旋转体表面积。解:1) 定积分体旋转轴心到侧面距离 f(x) = x22) 旋转体半径r = 33) 面元为f(x)dx × 2πr = x2 × 3 × 2π = 6πx2 dx4) 侧面积:S侧面 = ∫f(x)dx × 2πr = ∫06πx2 dx = 54π5) 顶面积:A上 = π(3)2 = 9π; A下 = π(0)2 = 0; S顶面 = A上 + A下 = 9π6) 总表面积:S总表面积 = S侧面 + S顶面 = 54π + 9π = 63π所以,该定积分体旋转得到的旋转体总表面积为63π。如有不理解的地方,可以继续探讨。我们可以举更多例题进行练习,加深理解。在学习与交流的过程中,我也会不断总结与提高,力求为您提供高质量的答疑服务。让我们共同努力,一定会学有所成!

答：在定积分旋转体中,表面积和侧面积不相等。表面积总是大于侧面积的。这是因为:1. 表面积除了包含侧面积外,还包括顶面积。表面积=侧面积+顶面积。所以,表面积一定大于等于侧面积。2. 定积分旋转体的侧面积来源于定积分体在旋转轴上旋转一周所围成的曲面,它是定积分体侧面(侧壁)在旋转过程中围成的区域,所以称为侧面积或侧壁面积。3. 定积分旋转体的顶面积来源于定积分体两端的上底面和下底面在旋转过程中围成的两个圆面积之和。所以顶面积是两个底圆面积的总和。4. 算例:已知y=x2,0≤x≤3为定积分体侧面方程。求该定积分体在x轴上旋转一周得到的旋转体的表面积和侧面积。解:1) 定积分体旋转轴心到侧面距离 f(x) = x22) 旋转体半径r = 33) 面元为f(x)dx × 2πr = x2 × 3 × 2π = 6πx2 dx4) 侧面积:S侧面 = ∫f(x)dx × 2πr = ∫06πx2 dx = 54π5) 顶面积:A上 = π(3)2 = 9π; A下 = π(0)2 = 0; S顶面 = A上 + A下 = 9π6) 总表面积:S表面积 = S侧面 + S顶面 = 54π + 9π = 63π所以,该定积分体旋转得到的旋转体侧面积为54π,总表面积为63π。表面积大于侧面积,两者不相等。综上,在定积分旋转问题中,表面积和侧面积不相等。表面积总是大于侧面积的,它除了包含侧面积外,还包括顶面积。定积分旋转体的几个面积来源不同,但在求积过程中又密切相关。我们需要清晰理解不同面积的来源与区别,在解题时综合运用相关知识,得到正确的结果。